\(h^{(n)}(x)=(-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) \)
Für n=1 also \(h'(x)=(-1)^{1} \cdot 5 \cdot 3^{1-1} \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-1) \)
bzw. \(h'(x)=-5 \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-1) = 5 \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(1-3x)\)
Das passt also.
Angenommen es stimmt für n, dann muss man für n+1 schauen:
\(h^{(n+1)}(x)= \text{Ableitung von }( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} \cdot \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) ) \)
\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} )\cdot \text{Ableitung von } (\mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) ) \)
Produktregel gibt:
\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} )\cdot ( -3\mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) +\mathrm{e}^{-3 x}\cdot 3 ) \)
\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n-1} )\cdot 3 \cdot ( -\mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) +\mathrm{e}^{-3 x} ) \)
\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n} \cdot 5 \cdot 3^{n} ) \cdot ( -\mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) +\mathrm{e}^{-3 x} ) \)
\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n+1} \cdot 5 \cdot 3^{n} ) \cdot ( \mathrm{e}^{-3 x}(3 x-n) -\mathrm{e}^{-3 x} ) \)
\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n+1} \cdot 5 \cdot 3^{n} ) \cdot \mathrm{e}^{-3 x}\cdot ( (3 x-n) - 1 ) \)
\(h^{(n+1)}(x)=( (-1)^{n+1} \cdot 5 \cdot 3^{n} ) \cdot \mathrm{e}^{-3 x}\cdot ( (3 x-(n+ 1) ) \)
Also ergibt sich die Formel mit n+1 an Stelle von n. q.e.d.
