Abblindungsmatrix bestimmen

Question

Könnte mir jemand behilflich sein? Ich versuche die Abbildungsmatrix dieser linearen Abbildung zu bestimmen, stehe jedoch auf dem Schlauch außerdem bereitet mir eine andere allgemeinere Frage auch Sorgen. Es soll der Kern der Matrix bestimmt werden. Dies gilt ja in diesem Fall nur wenn die Spaltenvektoren linear abhängig sind. Nun ist meine Frag ob ich mit einem Vektor der linear abhängig zu den anderen beiden ist (bzw. zu einem) den gesamten Raum der Vektoren aufspanne der linear unabhängig zu den Spaltenvektoren ist?

$$ L(x) = det \begin{pmatrix} x & 2 & 1 \\ y & 5 & -1 \\ z & 1 & -3 \end{pmatrix} $$

Comments

Wie heisst diese Matrix genau :) 

Answer 1

Man könnte auch schreiben

L(x) = -7*(2x-y+z)

Dann ist L ( (1,0,0)^T ) = -14 

und   L ( (0,1,0)^T ) = 7

L ( (0,0,1)^T ) = -7 also die Matrix

( -14   7    -7  )

Und davon der Kern besteht aus allen Vektoren (x,y,z)^T

mit   -7*(2x-y+z) = 0 

also  2x-y+z = 0 

also z = y -2x . Die sehen so aus 

     x                            1                     0
     y              =    x*     0     +    y  *     1
    y-2x                       -2                     1 

Also eine Basis des Kerns ist  (1,0,-2)^T , ( 0,1,1)^T .