f(x) = (x^{2}-x+1)/(x^{2}-1)
= (x^{2}-x+1/4 - 1/4 + 1)/((x+1)(x-1))
= ((x-1/2)^2 + 3/4)/((x+1)(x-1))
Nun siehst du
Erstens: Der Zähler ist immer positiv (nie kleiner als 3/4) . Daher: Keine Nullstellen!
Zweitens: x = -1 und x = 1 sind einfache Nullstellen des Nenners. Ausserdem ist der Nenner für |x| > 1 positiv und für |x| <1 negativ.
Soweit klar?
[spoiler]
Du weisst nun, dass bei x=-1 und x=+1 vertikale Asymptoten vorliegen und dass der Graph die x-Achse nie kreuzt.
Zeichne das Koordinatensystem und die beiden Asymptoten.
~plot~ x=-1;x=1 ~plot~
Nun muss zwischen den beiden Asymptoten ein Bogen asymptotisch an die vertikalen Linien gezeichnet werden, der ganz unterhalb der x-Achse verläuft.
Für |x| > 1 hingegen sind alle Funktionswerte positiv. Der Graph geht asymptotisch gegen oben ins Unendliche .
~plot~ x=-1;x=1; (x^{2}-x+1)/(x^{2}-1) ~plot~
[/spoiler]
Anmerkung:
(x-1)(x+1) ist (x-1)^1 * (x+1)^1 .
Ungerade Exponenten in der (fertig gekürzten) Faktorzerlegung zeigen dir, dass die Funktion an der Polstelle das Vorzeichen ändert. D.h. wenn der Graph auf der einen Seite von x=a nach oben verschwindet, beginnt er auf der andern Seite von x=a von unten (minus unendlich). (bei geraden Exponenten ändert sich das Vorzeichen nicht)
