Hallo Du Hoffnungsloser,
Bei 1) fällt auf, dass alle Summanden durch 3 teilbar sind. Das fordert ja auch die Bildungssvorschrift \(3n\). Also klammere die 3 aus, um handlichere Zahlen zu erhalten:
$$S_1(n) = 3 + 6 + 9 + ... + 3n = 3(1 + 2 + 3 + ... n)$$ Und die Summe in der Klammer sollte Dir bekannt vorkommen. Falls nicht, so hilft der addiere-in-umgekehrter-Reihenfolge-Trick:
$$1+2+3+..+n \\ \space= \frac12((1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-3)) + ... (n + 1) ) $$ $$\space = \frac12 (n+1)n$$ Daraus folgt
$$S_1(n)=\frac32(n+1)n$$
Bei 2) kannst Du ähnlich vorgehen. Zunächst mal reduzieren
$$S_2(n) = 1+4+7+10+13+...+(3n-2)$$
bei jedem der Summanden kommt \(-2\) vor. Und das genau \(n\)-mal. Dazu addiere ich die 2 zu jedem der Summanden -es ist
$$S_2(n) = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 3n - (2n)$$ und der erste Teil sollte Dir wieder bekannt vorkommen (s.o.). daraus folgt
$$S_2(n) = S_1(n) - 2n = \frac32(n+1)n - 2n = \frac32 n^2 - \frac12 n = \frac12 n(3n-1)$$
Bei 3) wird es etwas schwieriger
$$S_3(n) = 7+14+28+56+ ... +7\cdot 2^{n-1}$$
erster Schritt: reduzieren, da alles mit dem Faktor 7 multipliziert wird
$$S_3(n) = 7\left( 1 + 2 + 4 + 8+ ... +2^{n-1} \right)$$ Gut - ich sehe es sofort, aber ich weiß nicht, was Du für Vorwissen mitbringst. Rechne doch einfach mal ein paar Werte der Reihe aus:
$$1 \space 3 \space 7 \space 15 \space 31 \space 63 \space ....$$ dann könnte man vielleicht drauf kommen, jeden Wert der Reihe um 1 zu erhöhen:
$$2 \space 4 \space 8 \space 16 \space 32 \space 64 \space .... := 2^1 \space 2^2 \space 2^3 \space 2^4 \space ...$$ heißt, wenn man von \(2^n\) eine 1 abzieht, hat man das was man will:
$$S_3(n) = 7 \cdot \left( 2^n - 1\right)$$ zu dieser Reihe empfehle ich Dir die Lektüre der Weizenkornlegende.
Gruß Werner
