Formeln finden und mit vollständige Induktion beweisen

Question

Hallo , 

Ich muss für die folgende Aufgaben Formeln finden und das mit vollständige Induktion beweisen. Ich weiß wie ich das mit Induktion beweisen kann aber diese Formeln zu finden fällt mir schwer.

1) 3+6+9+....+3n = .....

2) 1+4+7+10+13+...+3n-2 =....

3) 7+14+28+56+....+7 * 2ⁿ-1 =...?

Comments

Wie ist das -1 gemeint in:

7 * 2ⁿ - 1 ? 

Subtraktion von 1 ? 

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Jaa also da steht auf dem Zettel : 7 mal 2 hoch n und dann -1 also die -1 ist nicht im exponent 

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3) muss dann wohl so lauten

3) 7+14+28+56+....+ 7*2^n-1   = 7 * (2ⁿ-1) Druckfehler in Fragestellungen bei euch üblich?

Zumindest ist der Beweis unten nun dafür gemacht worden. Melde dich bei Unklarheiten nochmals mit einem Kommentar bei Werner-Salomon. 

Answer 1

Hallo Du Hoffnungsloser,

Bei 1) fällt auf, dass alle Summanden durch 3 teilbar sind. Das fordert ja auch die Bildungssvorschrift $3n$. Also klammere die 3 aus, um handlichere Zahlen zu erhalten:

$$S_1(n) = 3 + 6 + 9 + ... + 3n = 3(1 + 2 + 3 + ... n)$$ Und die Summe in der Klammer sollte Dir bekannt vorkommen. Falls nicht, so hilft der addiere-in-umgekehrter-Reihenfolge-Trick:

$$1+2+3+..+n \\ \space= \frac12((1 + n) + (2 + (n-1)) + (3 + (n-3)) + ... (n + 1) )$$ $$\space = \frac12 (n+1)n$$ Daraus folgt

$$S_1(n)=\frac32(n+1)n$$

Bei 2) kannst Du ähnlich vorgehen. Zunächst mal reduzieren

$$S_2(n) = 1+4+7+10+13+...+(3n-2)$$

bei jedem der Summanden kommt $-2$ vor. Und das genau $n$-mal. Dazu addiere ich die 2 zu jedem der Summanden -es ist

$$S_2(n) = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 3n - (2n)$$ und der erste Teil sollte Dir wieder bekannt vorkommen (s.o.). daraus folgt

$$S_2(n) = S_1(n) - 2n = \frac32(n+1)n - 2n = \frac32 n^2 - \frac12 n = \frac12 n(3n-1)$$

Bei 3) wird es etwas schwieriger

$$S_3(n) = 7+14+28+56+ ... +7\cdot 2^{n-1}$$

erster Schritt: reduzieren, da alles mit dem Faktor 7 multipliziert wird

$$S_3(n) = 7\left( 1 + 2 + 4 + 8+ ... +2^{n-1} \right)$$ Gut - ich sehe es sofort, aber ich weiß nicht, was Du für Vorwissen mitbringst. Rechne doch einfach mal ein paar Werte der Reihe aus:

$$1 \space 3 \space 7 \space 15 \space 31 \space 63 \space ....$$ dann könnte man vielleicht drauf kommen, jeden Wert der Reihe um 1 zu erhöhen:

$$2 \space 4 \space 8 \space 16 \space 32 \space 64 \space .... := 2^1 \space 2^2 \space 2^3 \space 2^4 \space ...$$ heißt, wenn man von $2^n$ eine 1 abzieht, hat man das was man will:

$$S_3(n) = 7 \cdot \left( 2^n - 1\right)$$ zu dieser Reihe empfehle ich Dir die Lektüre der Weizenkornlegende.

Gruß Werner

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Danke für diese ausführliche Erklärung :)