Basis von Unterraum herleiten

Question

Hallo alle :-)

ich habe eine Aufgabe im Anhang. Ich muss eine Basis herleiten zu einem vorgegebenen Unterraum.
Das ist jetzt meine erste Aufgabe dazu und ich würde sehr gerne wissen, ob das so ok wäre.
Meine Lösung ebenfalls auch im Anhang. Ich denke bis zum ersten Trennstrich ist das ok.

Also erstmal alles aufschreiben und passend ableiten.
Dann habe ich einfach auf entsprechende Unbekannte umgestellt (a₀ und a₁) und a₁ dann in die dritte Gleichung eingebunden, um a₂ rauszubekommen.
Die Teillösungen von a₀, a₁ und a₂ dann in P₄(x) eingebunden, um auf eine Basis letztendlich zu kommen.

Wäre das so ok oder falsch? Was sagt ihr? Oder ist der Ansatz nicht der Richtige weg.
Ich bin mir halt nicht sicher, weil ich nicht glatte Zahlen habe, sondern Brüche.

Über Hilfe würde ich mich freuen. Danke.

Aufgabe:

Lösung:

Answer 1

Falls ich nichts übersehen habe, ist deine Rechnung ok. Die Probe geht auch auf (habe ich aber nur im Kopf gerechnet) und die Dimension stimmt auch. Wenn du den ersten Basisvektor noch durch sein Doppeltes ersetzt, bist du auch die Brüche los.