Welche Aussagen treffen zu?
Fragestellung:
Betrachten Sie die Funktion
f( x1 , x2 )=-8+2x1+5x2 -4x1^2+bx1x2-6x2^2 ,
wobei b eine reelle Zahl ist. Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen zutreffen.
a. Es gibt eine Zahl b, sodass die Funktion f konvex ist.
b. Es gibt eine Zahl b, sodass die Funktion f konkav ist.
c. Falls b=24 ist, ist die Funktion f konvex.
d. Falls b=7 ist, ist die Funktion f konkav.
e. Keine der anderen Anwortmöglichkeiten trifft zu.
Lösung:
Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre Hessematrix in jedem Punkt positiv semidefinit ist, und genau dann konkav, wenn ihre Hessematrix in jedem Punkt negativ semidefinit ist. Die Hessematrix von f in einem beliebigen Punkt ( x1 , x2 ) ist
f"( x1 , x2 )=( -8 b
b -12 ).
Es gilt
f"( x1 , x2 )11 =-8
und
det(f"( x1 , x2 ))=96- b^2 .
Da f"( x1 , x2 )11 negativ ist, kann f"( x1 , x2 ) für keine Wahl von b positiv semidefinit sein.
Genau für jene Zahlen b, für die det(f"( x1 , x2 )) nichtnegativ ist, ist die Matrix f"( x1 , x2 ) jedoch negativ semidefinit. Das sind aber genau die rellen Zahlen im Intervall [-9.80,9.80].
Es gibt eine Zahl b, sodass die Funktion f konvex ist.
Falsch
Es gibt eine Zahl b, sodass die Funktion f konkav ist.
Richtig
Falls b=24 ist, ist die Funktion f konvex.
Falsch
Falls b=7 ist, ist die Funktion f konkav.
Richtig
Keine der anderen Anwortmöglichkeiten trifft zu.
Falsch
Meine Frage: Wie komme ich bei dieser Funktion auf die Hessematrix? Und wie weiß ich, ob die Funktion konvex bzw. konkav ist, wenn ich die Zahl b nicht kenne?
