Tangente an Ellipse Kurve

Question

Bestimmen sie die Gleichung der Tangente im Punkt P(1,5/√3) an die Ellipse mit 

x(t) = 3cos(t) 

y(t) = 2sin(t) 

Comments

Muss die Tangente beide Graphen tangieren?

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Das ist eine Kurve in Parameterdarstellung

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Weitere Unklarheit.

Soll bei P(1,5/√3)

x = 1 und y = 5/√3 sein 

oder

x = 1,5 und y = √3 

? 

Answer 1

Bestimmen sie die Gleichung der Tangente im Punkt P$(1,5| \sqrt{3}$ ) an die Ellipse mit   $x(t) = 3\cos(t)$  und $y(t) = 2\sin(t)$

Umformung der Parameter:

$x = 3\cos(t)$      $y = 2\sin(t)=2\cdot\sqrt{1-\cos^2(t)}$

mit   $x^2 = 9\cos^2(t)$:

$y =2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{9}x^2} |^2$ 

$y^2 =4(1-\frac{1}{9}x^2)=4-\frac{4}{9}x^2$

$\frac{4}{9}x^2+y^2=4 |:4$

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

Bestimmung der Tangente  im Punkt P$(1,5| \sqrt{3})$

Die Ableitung von $y =2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{9}x^2}$

$y' =\frac{-2\cdot \frac{2}{9}x}{2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{9}x^2}} =-\frac{ \frac{2}{9}x}{\sqrt{1-\frac{1}{9}x^2}}$

An der Stelle $x=1,5$

$y'( \frac{3}{2}) =-\frac{ \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}}{\sqrt{1-\frac{1}{9}\cdot \frac{9}{4}}}=-\frac{2}{9}\sqrt{3}$

Tangentengleichung über die Punkt-Steigungsform der Geraden:

$\frac{y-\sqrt{3}}{x-1,5}=-\frac{2}{9}\sqrt{3}$  

$y=-\frac{2}{9}\sqrt{3}(x-1,5) +\sqrt{3}$ 

$y=-\frac{2}{9}\sqrt{3} x+\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Answer 2

dy/dx =( dy/dt )/(dx/dt)

=2cos(t)/(-3sin(t))

=2x/3 /(-3y/2)

=-4/9 *x/y

=-4/9 *1.5/√(3)

=-2/(3√3)=m

t(x)=y_0 + m(x-x_0)

=√3 +-2/(3√3) *(x-1.5)