Bestimmen sie die Gleichung der Tangente im Punkt P\((1,5| \sqrt{3} \) ) an die Ellipse mit \(x(t) = 3\cos(t)\) und \(y(t) = 2\sin(t)\)
Umformung der Parameter:
\(x = 3\cos(t)\) \(y = 2\sin(t)=2\cdot\sqrt{1-\cos^2(t)}\)
mit \(x^2 = 9\cos^2(t)\):
\(y =2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{9}x^2} |^2\)
\(y^2 =4(1-\frac{1}{9}x^2)=4-\frac{4}{9}x^2 \)
\(\frac{4}{9}x^2+y^2=4 |:4 \)
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \)
Bestimmung der Tangente im Punkt P\((1,5| \sqrt{3}) \)
Die Ableitung von \(y =2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{9}x^2} \)
\(y' =\frac{-2\cdot \frac{2}{9}x}{2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{9}x^2}} =-\frac{ \frac{2}{9}x}{\sqrt{1-\frac{1}{9}x^2}}\)
An der Stelle \(x=1,5\)
\(y'( \frac{3}{2}) =-\frac{ \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}}{\sqrt{1-\frac{1}{9}\cdot \frac{9}{4}}}=-\frac{2}{9}\sqrt{3}\)
Tangentengleichung über die Punkt-Steigungsform der Geraden:
\( \frac{y-\sqrt{3}}{x-1,5}=-\frac{2}{9}\sqrt{3} \)
\( y=-\frac{2}{9}\sqrt{3}(x-1,5) +\sqrt{3}\)
\( y=-\frac{2}{9}\sqrt{3} x+\frac{4}{3}\sqrt{3}\)
