Wieviel von den beiden Gütern sollte Silvia konsumieren, um ihren Nutzen zu maximieren?

Question

Silvia konsumiert zwei Güter: Gut 1 und Gut 2. Ihre Nutzenfunktion lautet U(x1,x2)=x1^0,5*x2^0,5

Der Preis von Gut 1 beträgt € 10,- und von Gut 2 € 5,-. Insgesamt hat Silvia ein Budget von € 120,- zur Verfügung.

Lösung:

6 Stück von Gut 1 und 12 Stück von Gut 2

Wie komme ich darauf?

Answer 1

Nebenbedingung

10x + 5y = 120 --> y = 24 - 2·x

Hauptbedingung

U = x^0.5·y^0.5 = x^0.5·(24 - 2·x)^0.5 = √(24·x - 2·x^2)

U' = (12 - 2·x)/√(24·x - 2·x^2) = 0 --> x = 6

Jetzt y ausrechnen sollte nicht so schwer fallen.

PS: Ich finde es hilfreich zu wissen, wann man Lagrange anwenden sollte und wann nicht. Wie du siehst wäre Lagrange hier gar nicht nötig. Lagrange fände ich hier schon fast zu aufwendig.

Comments

Ok, wenn es ohne Lagrange geht, bleibt mir Einiges erspart. Gibt es sonst noch einen Lösungsweg?

Ich finde es recht schwer, z. B. auf U = x0.5·y0.5 = x0.5·(24 - 2·x)0.5 = √(24·x - 2·x2) das zu kommen und dann auf x=6 zu kommen.

Könntest du hier nocheinmal die einzelnen Rechenschritte aufzeigen bitte? Wir dürfen bei der Klausur nämlich nur einen einfachen TR verwenden und so finde ich das ziemlich schwierig. Danke.

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U = x^0.5·y^0.5

U = √x·√y

U = √(x·y)

U = √(x·(24 - 2·x))

U = √(24·x - 2·x^2)

Das Lernen der Potenzgesetze und der Ableitungsregeln kann und möchte ich dir nicht abnehmen.

Aber das solltest du mit ein wenig Übung eigentlich hinbekommen.

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Ok, danke, ableiten habe ich auch geschafft, aber dieser Schritt:

U' = (12 - 2·x)/√(24·x - 2·x2) = 0 --> x = 6

Wie kommst du auf x = 6? Ich bekomme das x nicht alleine auf eine Seite.

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Achtung:

Ein Bruch a / b wird Null wenn der Zähler Null wird. Der Nenner darf eh nicht Null sein.

Es langt also den Zähler gleich Null zu setzen und zu Prüfen ob der Wert im Definitionsbereich liegt.

12 - 2·x = 0

Und das sollte man natürlich lösen können.