Für welche Werte x Elemente von R konvergiert die Reihe: Summe von ((2x)/(x+1))n

Question

Wie kommt man auf das Intervall(-1/3, 1), ich komme auf (-1 , 1).

Answer 1

das ist eine geometrische Reihe

mit q= 2x/(x+1)=2*(x+1-1)/(x+1)

= 2*(1-1/(x+1))

Wann konvergiert eine geometrische Reihe?

Comments

laut wurzelkriterium muss die nte wurzel aus | (2x/x+1)ⁿ | < 1 sein, ich versteht nicht wie man zum -1/3 im Intervall kommt.

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Ja, das ist äquivalent zu

2*|(1-1/(x+1)) |<1

|1-1/(x+1)|<1/2

Links liegt die Nullstelle unter dem Betrag bei x=0

Also Fallunterscheidung:

x>=0:

1-1/(x+1)<1/2

1/2<1/(x+1)

2>x+1

1>x

Also 0<=x<1

Nun  Fall 2 x<0:

-1+1/(x+1)<1/2

1/(x+1)<3/2

x+1>2/3

x>-1/3

Also -1/3<x<0

Kombiniert ergibt sich somit

x∈(-1/3,1)

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2*(x+1-1)/(x+1)

= 2*(1-1/(x+1)) wieso ist das x jetzt im Zähler weg ?

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Habe es verstanden, hat mich nur verwirrt, weil das alles in einer Zeile geschrieben ist.

Vielen Dank