Induktionsanfang: Für n=1 haben wir $$1+2^{2^1}+2^{2^{1+1}}=1+2^{2}+2^{4}==1+4+16=21=3\cdot 7$$ es ist also durch 7 teilbar, und somit gilt die Aussage.
Induktionsbehauptung: Wir behaupten dass die Aussage für n=k gilt, also $$1+2^{2^k}+2^{2^{k+1}}$$ ist teilbar durch 7, es gibt also ein n sodass $$1+2^{2^k}+2^{2^{k+1}}=7\cdot n \Rightarrow 2^{2^{k+1}}=7\cdot n-1-2^{2^k}$$
Induktionsschritt: Wir wollen zeigen dass die Aussage auch für n=k+1 gilt. Wir haben folgendes: $$1+2^{2^{k+1}}+2^{2^{(k+1)+1}}\\ =1+2^{2^{k+1}}+2^{2^{k+1}\cdot 2}\\ =1+2^{2^{k+1}}+\left(2^{2^{k+1}}\right)^2 \\ = 1+2^{2^{k+1}}\left(1+2^{2^{k+1}}\right) \\ =1+\left(7\cdot n-1-2^{2^k}\right)\left(1+7\cdot n-1-2^{2^k}\right) \\ = 1+\left(7\cdot n-1-2^{2^k}\right)\left(7\cdot n-2^{2^k}\right) \\ = 1+49\cdot n^2-7\cdot n\cdot 2^{2^k}-7\cdot n+2^{2^k}-7\cdot n\cdot 2^{2^k}+\left(2^{2^k}\right)^2 \\ = 1+49\cdot n^2-14\cdot n\cdot 2^{2^k}-7\cdot n+2^{2^k}+2^{2^k\cdot 2}\\ = 1+49\cdot n^2-14\cdot n\cdot 2^{2^k}-7\cdot n+2^{2^k}+2^{2^{k+1}} \\ =\left(49\cdot n^2-14\cdot n\cdot 2^{2^k}-7\cdot n\right)+\left(1+2^{2^k}+2^{2^{k+1}}\right) \\ =\left(49\cdot n^2-14\cdot n\cdot 2^{2^k}-7\cdot n\right)+7\cdot n \\ = 49\cdot n^2-14\cdot n\cdot 2^{2^k}\\ = 7\cdot \left(7\cdot n^2-2\cdot n\cdot 2^{2^k} \right) $$
Somit gilt auch für n=k+1 die Aussage.
