Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate von s bei x = 6 und x = 10. Interpretieren Sie ihre Bedeutung.

Question

Es gilt s(t)=20t-t^2

Wie berechne ich die momentane Änderungsrate näherungsweise? Die Methode mit den Potenzregeln haben wir noch nicht gemacht.

Ich sitze hier schon den ganzen Tag dran und bekomme langsam echt Kopfschmerzen.

Answer 1

s(t) = 20·t - t^2

s'(t) = 20 - 2·t

s'(6) = 20 - 2·6 = 8

s'(10) = 20 - 2·10 = 0

Die momentane Änderungsrate ist ein Maß für die Steigung der Funktion an einer Stelle. Im Sachkontext könnte es die Geschwindigkeit sein, wenn s(t) die Weg-Zeit-Funktion angibt.

Comments

Und wie kann ich die Ableitung näherungsweise bestimmen?

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Brauchst du so was https://www.mathelounge.de/90570/momentane-anderungsrate-s-t-20t-t-2-nach-6-und-10-sekunden ? 

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h -Methode

s'(t) = lim (s(t + h) - s(t)) / h

m = ((20·(t + h) - (t + h)^2) - (20·t - t^2)) / h

m = (20·t + 20·h - (t^2 + 2·t·h + h^2) - 20·t + t^2) / h

m = (20·t + 20·h - t^2 - 2·t·h - h^2 - 20·t + t^2) / h

m = (20·h - 2·t·h - h^2) / h

m = 20 - 2·t - h

lim h --> 0

s'(t) = 20 - 2·t

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Die Ableitung (auch mit h-Methode) ist eigentlich exakt und keine Näherung.

"Näherungweise" wäre es, wenn man z.B. hier 

m = (20·h - 2·t·h - h^2) / h

oder hier

m = 20 - 2·t - h  

für h den Wert 0.001 einsetzen würde. 

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Danke euch, ich kann das jetzt nachvollziehen. 

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Näherungsweise kann man mit dem Taschenrechner noch so machen:

((20·6.01 - 6.01^2) - (20·6 - 6^2))/0.01 = 7.99

((20·10.01 - 10.01^2) - (20·10 - 10^2))/0.01 = -0.01

In der Überschrift steht allerdings nichts von näherungsweise. Das steht nur in der Frage. Ich denke es sollte vermutlich auch exakt bestimmt werden. Aber da mag ich mich auch irren.