Funktion f(x)=1/(1+e^x) auf gleichmäßige Stetigkeit untersuchen

Question

Untersuchen Sie die Funktion f(x)=1/(1+e^x) auf gleichmäßige Stetigkeit.

Könnte mir hier Jemand einen ausführlichen Beweis liefern?

Answer 1

Sei ε>0. Dann musst du ein δ>0 bestimmen, so dass für alle x,y ∈ℝ gilt:

|x-y|<δ  ==>  | f(x) - f(y)  | < ε.

Nun hat aber f überall eine Steigung m, deren Betrag  kleiner oder gleich 1 ist,

also ist in einem Steigungsdreieck für die Stellen x und y die waagerechte 

Kathete immer kleiner oder gleich der senkrechten, also 

          |x-y| ≤ | f(x)-f(y) .

Es reicht also δ  = ε zu wählen.

                          

                   

Comments

Ach das werde ich wohl nie alleine hinbekommen, dankeschön

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ich hätte nämlich versucht einfach die Werte einzusetzen und dann irgendwas zu sehen, ist wohl aber der falsche Weg