Rekursiv definierte Folgen a_(n+1):= 0.5(a_(n) + K/a_(n)). Konvergenz? Fixpunkt?

Question

Aufgabe:

Sei \( K>0 . \) Wir betrachten die rekursiv definierte Folge

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{K}{a_{n}}\right) \quad \text { für } \quad n \geq 0 $$
wobei der Startwert \( a_{0}>0 \) beliebig sei.

a) Zeigen Sie, dass \( a_{n} \geq \sqrt{K} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) monoton fallend ist.

c) Folgern Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in N} \) konvergiert, und bestimmen Sie den Grenzwert.

Answer 1

Hi,
betrachte $$ a_{n+1}^2-K = \frac{1}{4}\left( a_n+\frac{K}{a_n} \right)^2 - K = \frac{1}{4}\left( a_n-\frac{K}{a_n} \right)^2  $$ wie man durch ausmultiplizieren und zusammenfassen nachweisen kann. Dir rechte Seite
ist \( > 0 \) und damit gilt $$ a_{n+1} \ge \sqrt{K}  $$ also auch $$ (1) \quad a_n \ge \sqrt{K} $$
Das die Folge monoton fallend ist, ist äquivalent mit $$ a_n^2 \ge K  $$ wie man durch ausmultiplizieren nachweisen kann und was nach (1) auch gilt.
Insgesamt hat man also eine monoton fallende Folge die nach unten beschränkt ist, also ist die Folge konvergent. Damit gilt $$ \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} a_{n} = a $$ und daraus folgt $$ a = \frac{1}{2} \left( a+\frac{K}{a} \right) $$ und das aufgelöst ergibt $$ a = \sqrt{K}  $$

Answer 2

zu c).

a_(n+1):= 0.5(a_(n) + K/a_(n))

Den möglichen Grenzwert a kann man ausrechnen, wenn man

a= 0.5(a + K/a)           nach a auflöst.

Im Grenzfall sollte sich ja nichts mehr ändern, wenn man das nächste Folgenglied berechnet.

a= 0.5(a + K/a)    

a = 0.5a + K/(2a)      | -0.5a

0.5a = K/(2a)       | *(2a)

a^2 = K

a = ±√K

Nun kann es Startwerte geben, bei denen -√K und solche bei denen +√K der Grenzwert ist und vielleicht auc Startwerte, bei denen die Folge nicht konvergiert.

Daher sind die Überlegungen in a) und b) und irgendein Satz im Skript (monotone Beschränkte Folgen konvergieren, oder so) bei (c) nötig. Gib die Nummer des entsprechenden Satzes in deiner Lösung der Aufgabe gleich mit an.