Hallo Dorkas,
Du fragtest "Wie soll ich nun S berechnen ? Mithilfe des Volumens oder anders ?", ja - mit Hilfe des Volumens und der Grundfläche. Ich habe Dir das mal in Geoknecht3D eingegeben (klick auf des Bild)
Die Kantenlänge \(|\vec{AB}|\) der Grundfläche \(G\) ist
$$|\vec{AB}| = \left| \begin{pmatrix} 6\\ 8\\ 4\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0 \\ -4\\ 0\end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} 6\\ 12\\ 4\end{pmatrix} \right| = \sqrt{6^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{196} = 14$$
Daraus folgt dann die quadratische Grundfläche \(G\)
$$G = |\vec{AB}|^2 = 14^2 = 196$$ Bem.: natürlich hätte man oben auch auf das Ziehen der Wurzel verzichten können ...
Das Volumen einer Pyramide beträgt
$$V = \frac13 h \cdot G \quad \Rightarrow h = \frac{3V}{G} = \frac{3 \cdot 1372 }{ 196} = 21$$
Der Normalenvektor \(\vec{n}\) zeigt vom Mittelpunkt \(M\) zur Spitze \(S\). \(\vec{n}\) hat die Länge
$$|\vec{n}| = \left| \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 6\end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{49} = 7$$ d.h. man muss den Vektor \(\vec{n}\) mit 3 multiplizieren, damit man einen Vektor der Länge 21 erhält. Folglich liegt \(S\) bei
$$\vec{S} = \vec{M} + \frac{h}{|\vec{n}|} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} -3\\ 4\\ 5\end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -5\\ 23\end{pmatrix}$$
Korrektur Deiner Frage:
"C(-6/13/10)" \(C=(-6|12|10)^T\), "D(-12/1/6)" \(D=(-12|0|6)^T\), "M(-3/5/5) ist der Mittelpunkt des Quadrat ABCD" \(M=(-3|4|5)^T\), "(2/3/6) ist der normalenvektor)" Der Normalenvektor ist \(\vec{n}=(2|-3|6)^T\)
Gruß Werner
