Differenzialrechnung: Ursprung und Steigung

Question

ich lerne gerade Mathe und komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

K ist das Schaubild der Funktion f mit f(x)=asin(bx); x∈ℝ.

x=3 ist eine Maximalstelle. K hat im Ursprung die Steigung π/4.

Bestimmen Sie einen Funktionsterm.

Answer 1

f '(0) = pi/4

f '(3) = 0

f '(x) = a*b*(cos bx)

Comments

Wie bist du auf den Funktionsterm gekommen?

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Kettenregel anwenden:

sin(ax) --> cos(ax)* a

Das Argument des sin wird "nachdifferenziert".

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Ach soo verstehe. Vielen Dank für deine Hilfe :)

Answer 2

K ist das Schaubild der Funktion f mit

f(x)=a * sin (b * x )

x=3 ist eine Maximalstelle.
K hat im Ursprung die Steigung π/4.

f ´( x ) = a * cos ( b * x ) * b

Kurznotation der Aussagen
f ´ ( 3 ) = 0
f ´ ( 0 ) = π/4.

a * cos ( b * 3 ) * b = 0
a * cos ( b * 0 ) * b = π/4.

a ≠ 0 ; b ≠ 0
a * cos ( b * 3 ) * b = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
cos ( b * 3 ) = 0
cos ( b * 3 ) = 0 | arccos
b * 3 = arcos ( 0 )
b * 3 = π / 2
b = π / 6

a * cos ( b * 0 ) * b = π/4
a * cos ( 0 ) *  π / 6 = π/4
a * 1 / 6 = 1 / 4
a = 1.5

Probe
f ´( x ) = a * cos ( b * x ) * b
f ´( 3 ) = 1.5 * cos ( π / 6 * 3 ) * π / 6 = 0
1.5 * cos ( π / 6 * 3 ) * π / 6 = 0
1.5 * cos ( π / 2 ) * π / 6 = 0
1.5 * 0 * π / 6 = 0 stimmt

f ´( x ) = a * cos ( b * x ) * b
f ´( 0 ) = 1.5 * cos ( π / 6 * 0 ) * π / 6 = π / 4
1.5 * 1 * π / 6 = π / 4 stimmt