dieser Artikel dreht sich endlich um die lokalen Extrempunkt einer Funktion. Dafür gibt es, nach meinem Wissensstand, zwei Methoden.
Es werden die Extrempunkte Hoch-und Tiefpunkte, aber auch Sattelpunkte besprochen. Im nächsten Artikel geht es um Wende- und Sattelpunkte.
Wenn ihr wollte, kann ich auch einen "Handaufschrieb" mit anhängen, da manche Lehrer viel Wert darauf legen.
Was muss gegeben sein, damit ein Extrempunkt existiert?
Am besten gebe ich erstmal einen Graphen.
~plot~ x^4-2x^2+1 ~plot~
Ein potentieller Extrempunkt ist gegeben, wenn die Steigung an einem Punkt Null ist. Wir unterscheiden in diesem Artikel zwischen Hoch- und Tiefpunkten. Ein Hochpunkt ist gegeben, wenn es kurz vor dem Punkt steigt und nach dem Punkt fällt. Andersherum ist es beim Tiefpunkt. Was wichtig ist, ist, dass es hier um lokale Extrempunkte geht. Das heißt, dass ein Hochpunkt nicht der höchste Punkt der Funktion sein muss.
Wo sehen wir hier Extrempunkte?
Einmal bei P1(-1|0); P2(0|1) und P3(1|0)
Was sind das für Extrempunkte?
Ihr könnt selber überlegen, falls ihr Bock drauf habt und dann die Lösung anschauen.
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P1 ist ein Tiefpunkt
P2 ist ein Hochpunkt
P3 ist ein Tiefpunkt
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Jetzt haben wir es graphisch ermittelt. Natürlich kann man - wie so gut wie alles in der Mathematik - auch berechnen. Dies sogar auf 2 Art und Weisen.
Die erste ist das Vorzeichenwechselkriterium.
Hierfür gibt es eine notwendige Bedingung und eine hinreichende Bedingung. Ich werde wieder eine Step-by-Step Anleitung geben.
1. Schritt: Notwendige Bedingung: f'(x) = 0, also die erste Ableitung Null setzten.
2. Schritt: Nun kommt das Vorzeichenwechselkirterium ins Spiel. Wenn wir jetzt bei x = 0 einen potentiellen Extrempunkt durch die Notwendige Bedingung gegeben haben, müssen wir einmal die Ableitung von "etwas weniger" als von der Stelle ausrechnen und einmal "etwas mehr". Ich habe es so gelernt, dass man einmal -1/10 nimmt und einmal +1/10 (Bei größeren Funktionen, wie z.B. 50x4+10x3-x2, sollte man ±1/100 nehmen). Dies wird an einem Beispiel wieder (hoffentlich) klar.
3. Schritt: Schauen ob ein Vorzeichenwechsel zwischen den beiden Werten stattgefunden hat. Wenn von positiver Steigung zu negativer oder von "+" nach "-", dann ist es ein Hochpunkt. Andersherum, also von "-" nach "+", dann ein Tiefpunkt. Wenn es keinen Vorzeichenwechsel gibt, dann ist dort ein Sattelpunkt. Wichtig ist, dass man zuerst die -1/10 und dann die 1/10 zur Beurteilung des Extrempunktes nimmt.
4. Schritt: Schauen, ob man die Formalien eingehalten hat. (Wichtig für Klausuren)
Dann rechne ich einfach mal das Beispiel vor.
$$f(x)=x^4-2x^2+1\\[20pt]\text{notwendige Bedingung}\\f'(x)=0\\f'(x)=4x^3-4x\\4x^3-4x=0\\4x\cdot(x^2-1)=0\\{x}_{1}=0\qquad {x}_{2}=1\qquad {x}_{3}=-1\\[30pt]\text{hinreichende Bedingung}\\[20pt]\text{Vorzeichenwechselkriterium der 1. Ableitung}\\\text{1. Fall }x=0\\f'\left(-\frac{1}{10}\right)=0,396>0\qquad VZ: +\\f'\left(\frac{1}{10}\right)=-0,396<0\qquad \text{VZ: -}\\\text{VZW; "+" zu "-"; Hochpunkt H(0|1)} $$
Die anderen könnt ihr alleine rechnen, wenn ihr wollt, oder direkt durchschauen.
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$$\text{2. Fall }x=1\\f‘\left(\frac{9}{10}\right)=-\frac{171}{250}<0\qquad \text{VZ:-}\\f‘\left(\frac{11}{10}\right)=\frac{231}{250}>0\qquad \text{VZ:+}\\\text{VZW;"-" zu "+"; Tiefpunkt T(1|0)}\\[25pt]\text{3. Fall }x=-1\\f‘\left(-\frac{11}{10}\right)=-\frac{231}{250} \text{VZ:-}\\f‘\left(-\frac{9}{10}\right)=\frac{171}{25}\ \text{VZ:+}\\\text{VZW;"-" zu "+"; Tiefpunkt T(-1|0)}$$
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Wichtig ist, dass ihr das genau so aufschreibt. Besonders, was eure notwendige Bedingung ist und was eure hinreichende Bedingung ist. Sonst gibt es vielleicht Punktabzug.
Das war die erste Methode, mit der man auch Sattelpunkte -wie oben beschrieben- bestimmen kann. Mit der zweiten geht das nicht ganz so einfach, da man dafür noch die dritte Ableitung braucht. Das wird dann im nächsten Artikel zusammen mit den Wendepunkten erklärt.
Wieder eine Step-by-Step Anleitung.
1.Schritt: Notwendige Bedingung: f'(x)=0
2.Schritt: Hinreichende Bedingung: f''(x)≠0. Wenn f''(x)>0, dann ist Tiefpunkt, wenn f''(x)<0, dann ist ein Hochpunkt vorhanden.
3. Schritt: Formalien.
$$f(x)=x^4-2x^2+1\\\text{notwendige Bedingung}\\f'(x)=0\\f'(x)=4x^3-4x\\4x^3-4x=0\\{x}_{1}=0\qquad {x}_{2}=1\qquad {x}_{3}=-1\\[25pt]\text{hinreichende Bedingung}\\f''(x)\neq 0\\f''(x)=12x^2-4\\\text{1. Fall }x=0\\f''(0)=-4<0\qquad \text{Hochpunkt H(0|1)}$$
Die anderen verstecke ich wieder, und ihr könnt sie, wenn ihr wollte berechnen.
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$$\text{2. Fall }x=1\\f''(1)=8>0\qquad \text{Tiefpunkt T(1|0)}\\[25pt]\text{3. Fall }x=-1\\f''(-1)=8>0\qquad \text{Tiefpunkt T(-1|0)}$$
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So, das wars auch schon zu der 2. Methode. Diese geht deutlich schneller.
Wie schon angekündigt wird es im nächsten Artikel um Sattel- und Wendepunkte gehen.
Über konstruktive Kritik und Fehlererkennung freue ich mich sehr, sowie über Fragen.
