20-(8x-16)*e^{-0,5x}

Question

die o.g Funktion hat keine Nullstelle stimmts ? Wie würdet ihr trotzdessen beim auflösen vorgehen

Comments

Kann ich sie um eine Stelle ändern, dass es eine Nullstelle gibt?

2-(8x-16)*e^{-0.5x}

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Gerne, aber die auflösung meiner Funktion hätte ich auch gern irgendwie. 

Answer 1

Hallo Exodius,

Ich würde erstmal die erste Ableitung bilden:$$f'(x)= 4x \cdot e{}^{-0.5x}-16 \cdot e{}^{-0.5x}  $$Diese dann Null stellen und die Nullstellen errechnen:$$4x \cdot e{}^{-0.5x}-16 \cdot e{}^{-0.5x}=0  $$$$  e{}^{-0.5x}\cdot (4x-16)=0  $$ d.h:$$  e{}^{-0.5x}=0  $$ Jetzt wird es einfacher:$$  4x-16=0 \quad | +16  $$$$  4x=16 \quad | :4 $$$$  x=4 $$  Dann diesen  Wert in die zweite Ableitung setzen:$$ f''(4)=20-(8 \cdot 4 -16) \cdot {e}^{-0.5\cdot 4} \approx 17.835$$ Das heißt wir haben einen Tiefpunkt bei $$ \text (4|17.835) $$ und d.h. das es keine Nullstellen geben kann wenn der tiefste Punkt nicht einmal die Y-Achse schneidet

Liebe Grüße

Anton

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Das ist an sich eine gute Erklärung, aber, wenn ich mich nicht irre, müsstest du noch das Verhalten im Unendlichen berechnen, da du so nur lokale Extrempunkte berechnest.

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Schlauer Gedankengang, danke dir !  Wie würdest du denn vorgehen, wenn es eine Nullstelle gäbe und du die berechnen müsstest.

Nehmen wir deine Korrektur, die hat ja Nullstellen.

f(x)=2-(8x-16)*e^-0,5x

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Soweit ich weiß geht das algebraisch nicht.

Ich würde das Newtonverfahren anwenden und mir einen günstigen Startwert überlegen. Hier der Graph:~plot~ 2-(8x-16)*e^{-0.5x} ~plot~ Dem können wir entnehmen, dass es eine Nullstelle in der Nähe von 3 gibt. Das ist die Formel für das Newtonverfahren. $$ {x}_{1}={x}_{i}-\frac{f{x}_{i}}{f{x}_{i}} $$$$ {x}_{1}=3+\frac{f(3)}{f'(3)} $$$$ {x}_{1}=3+\frac{2-{e}^{-0.5 \cdot 3} \cdot (8 \cdot 3 -16)}{\frac{1}{2}\cdot{e}^{-0.5 \cdot 3}\cdot (8 \cdot 3 -16)-8 \cdot{e}^{-0.5 \cdot 3}} \approx 3.240845 $$ Dann müsstest du diesen Wert wieder einsetzen.$$ {x}_{2}={x}_{1}-\frac{f({x}_{1})}{f'({x}_{1})}$$Das musst du dann so oft machen bis sich der Wert kaum noch ändert. 

Nullstellen der Funktion sind also:

x₁≈3.305009

x₂≈4.90646

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Eine Frage stellt sich mir:

Das ist doch sicher keine Schulaufgabe oder?

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Ne, aber Newtonverfahren kann eventuell mal vorkommen. Doch, dass war eine Schulaufgabe, jedoch mit dem Hinweis, dass die Nullstelle auch nicht existieren können, wollte nur sicher gehen.

Vielen Dank ! :-)

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Danke für den Stern.

Wenn ich fragen darf, welche Schulklasse bist du? 

Answer 2

Die Funktion hat keine Nullestelle.

Gerne, aber die auflösung meiner Funktion hätte
ich auch gern irgendwie.

Was meinst du damit ?
" Auflösung " ?

Comments

Wie argumentiere ich, wenn derartige Aufgaben in Klausuren vorkommen ??? Ich würde versuchen die aufzulösen sprich nullstellen berechnen....xD Dann sitz ich da die ganze zeit und will ja minimum irgendwie eine 3 schreiben xd

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Allgemein zur Bestimmung des Wertebereichs:

Funktionswerte an den Rändern des Definitions-
bereichs berechnen.
Extrempunkte berechnen

Mit der anderen Formel
f = 2 - (8*x-16) * e^{-0.5*x};

lim x−> -∞ = ∞
lim x−> +∞ = 2
Extremstelle
x = 4
f ( 4 ) = - 0.17
Die Funktion ist stetig. Es gibt keine
Lücken oder Polstellen.
Die Funktionswerte der Funktion verlaufen
von unendlich über - 0.17 nach 2
haben  die x-Achse also 2 mal
überquert. ( 2 Nullstellen )

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wenn es eine Nullstelle gäbe und du die
berechnen müsstest.

Algebraisch git es keine Berechnungsmöglichkeit.
Ansonsten z.B. das Newtonverfahren.