Mit welchem Verfahren kann man das lösen? x²-8x-20=y²+6y-16

Question

Hallo Ich habe folgende Gleichung gegeben:

x²-8x-20=y²+6y-16

Davon soll ich die Lösungsmenge bestimmen.

Leider komme ich mit dem Gleichsetzungsverfahren nicht weiter, weil es unterschiedliche Variablen sind und das Additionverfahren kann man hier auch nicht nutzen, weil dadurch keine Variabel wegfällt

Wäre es mit dem Einsetzungsverfahren möglich oder mit den anderen auch ?

Ich bin total verwirrt von der Aufgabe

Answer 1

x^2 - 8·x - 20 = y^2 + 6·y - 16

Man könnte Faktorisieren

(x + 2)·(x - 10) = (y - 2)·(y + 8)

Dann kann man sich hieraus schon mal 4 Lösungen ableiten.

Man kann auch die pq Formel anwenden und es nach einer unbekannten auflösen

x^2 - 8·x - 20 = y^2 + 6·y - 16

x^2 - 8·x - 20 - y^2 - 6·y + 16 = 0

x = 4 ± √(y^2 + 6·y + 20)

Comments

Ich verstehe das mit der PQ-Formel nicht


Wie kommt man auf die PQ-Formel ?

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Die pq-Formel ist eine Lösungsformel die man durch quadratische Ergänzung sich herleiten kann.

x^2 + px + q = 0

Löse die Obige Formal mal nach x über quadratische Ergänzung.

https://www.matheretter.de/rechner/quadratische-gleichung

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Die PQ-Formel kenne ich


x1,2 = - p / 2 ± √((p/2)² -q)


x2 - 8·x - 20 = y2 + 6·y - 16


Aber ich kann das nur mit einer Parable in Normalform

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x² - 8·x - 20 - y² - 6·y + 16 = 0

x² + (- 8)·x + (- y² - 6·y - 4) = 0

p = - 8

q = - y² - 6·y - 4

Das Funktioniert mit Temen ganz genau so wie mit Werten.

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Wie berechne ich jetzt die Lösungsmenge ?


x = - 8  ± √(y2 - 6·y -4)

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Zunächst müsstest du nur ausschließen das der Term unter der Wurzel negativ wird. Und dann gibt es zu jedem y aus dem Definitionsbereich von y einen Zegehörigen x-Wert.
Genauso könnte man es dann auch nach y auflösen in Abhängigkeit von x.

Wertemenge wäre dann unendlich.

Answer 2

Hi, die Lösungsmenge ist eine Hyperbel, man könnte sie darstellen als

L = { (x, y) ∈ ℝ×ℝ | (x-4)^2-(y+3)^2 = 11 }

Auch andere Darstellungen sind gängig.

In welchem Zusammenhang kam die Gleichung denn vor?

Comments

Eine Aufgabe aus der Schule, wovon wir die Lösungsmenge berechnen sollen

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Könntest Du noch das Thema nachreichen? Kegelschnittgleichungen sind nicht so der übliche Schulstoff, können aber gelegentlich vorkommen.