Gleichung lösen: (0.5x^3-3x^2+8x+16)/x^2 (Betriebsoptimum)

Question

Ausgangsgleichung:

(0.5x^3-3x^2+8x+16)/x^2

Vereinfacht lautet diese Gleichung 0.5x^2-3x+8+16x^{-1}

So nun muss ich die Gleichung ableiten, denn dies verlangt die Aufgabenstellung (betriebsoptimum ausrechnen)

0=x-3-(16/x^2)

Hier komm ich nicht weiter, d. h. ich kann diese Gleichung nicht lösen (bitte um Zwischenschritte und bitte ohne Computerunterstützung berechnen).

Answer 1

k(x) = (0.5·x^3 - 3·x^2 + 8·x + 16)/x

k(x) = 0.5·x^2 - 3·x + 16/x + 8

k'(x) = x - 16/x^2 - 3 = 0

x^3 - 3·x^2 - 16 = 0

Wir prüfen ob es positive und negative ganzzahlige Nullstellen sind die gleichzeitig Teiler von 16 sind und finden die 4. Dann machen wir noch eine Polynomdivision um eventuell noch weitere Nullstellen zu finden.

(x^3 - 3·x^2 - 16) / (x - 4) = x^2 + x + 4

x^2 + x + 4 = 0 --> Keine weiteren Nullstellen.

Answer 2

Sollte diese Gleichung zutreffend sein
0 = x - 3 - 16/x²

so ergibt sich als Lösung
x = 4

Die Lösung wurde durch probieren herausgefunden.

Mit mehr Zeitaufwand kann man auch z.B. nach dem
Newtonverfahren vorgehen.

Answer 3

Die Gleichung durch x auszudividieren halte ich nicht unbedingt für eine Vereinfachung - es ist eine Variante.

Entweder man lässt das wie es ist und wendet die Quotientenregel der Diff. an oder man kann $$x^{-1}$$ ableiten ...

... was übrigens genau der üblichen Regel folgt:

$$ \frac{d \, ax^n}{dx}=a \cdot n \cdot x^{n-1}$$

Answer 4

0=x-3-(16/x²)
0 = x^3 -3x^2 - 16 hier kannst du raten x=4
und dann Polynomdivision durch x-4