Wahrscheinlichkeit Urne

Question

Hi,

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 10 schwarze (S), 8 weiße (W) und 2 rote (R) Kugeln. Es wird dreimal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. 

WS von ...

-Mindestens eine Kugel ist weiß

-Höchstens eine Kugel ist schwarz

b) Wie viele Kugeln müssen der Urne mit Zurücklegen mind. entnommen werden, damit unter den gezogenen Kugeln mit wenigstens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens eine rote Kugel ist?

c) Aus der Urne werden 50 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie viele weiße Kugeln sind zu erwarten? Mit welcher WS werden 18-22 weiße Kugeln gezogen?

d) Es wird folgendes Spiel angeboten: Der Spieler erhält 4 E ausbezahlt, wenn 4 von 5 gezogenen Kugeln rot sind, und 8 E für 5 rote Kugeln. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

Ich komme gar nicht weiter ... über Antworten würde ich mich freuen :)!

Answer 1

a)
P(mind. eine weiß) = 1 - P(keine weiß) = 1 - (12/20)^3 = 0.784
P(höchstens eine schwarz) = (10/20)^3 + 3·(10/20)·(10/20)^2 = 0.5

b)
1 - (1 - 2/20)^n ≥ 0.9 --> n ≥ 22

c)
p = 8/20 = 0.4
μ = n·p = 50·0.4 = 20
P(18 ≤ x ≤ 22) = ∑(COMB(50, x)·0.4^x·(1 - 0.4)^{50 - x}, x, 18, 22) = 0.5291

d)
P(X = 4) = COMB(5, 4)·0.1^4·0.9^1 = 0.00045
P(X = 5) = 0.1^5 = 0.00001
4·0.00045 + 8·0.00001 - c = 0 --> c = 0.00188 Euro