Bestimme eine R Basis, sodass jeder Vektor mindestens einen Null- Eintrag hat

Question

Seien z1, z2, z3 ∈ℝ5 die Zeilen von A. Bestimmen Sie eine ℝ- Basis B von der linearen Hülle der Menge  {z1, z2, z3}, sodass jeder Vektor in B mindestens eine Null- Eintrag hat.

A= 1  2  2  -1  3

     1  2  3   1   1

     3  6  8   1   5

Nun habe ich Rang A=2 bestimmt also muss die Basis aus 2 Vektoren bestehen.

Ich habe jetzt als Lösung aufgeschrieben U= [{z1-z2, z1+z2}] =[{0,0,-1,-2,2},(2,4,5,0,4)]. Doch woher weiß ich jetzt dass die Basis aus den Vektoren z1-z2 und z1+z2 besteht?

Dass z3 nicht dabei ist mir wiederum klar, weil diese Zeile linear abhängig ist.

Comments

Wie willst du denn mit deiner Basis z_3 kombinieren?

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-1/2 * (z1-z2) +3/2*( z1+z2) = z3 

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Gut. Damit ist klar, dass sich die lineare Hülle von {z1, z2, z3} durch (z1-z2) und (z1+z2) kombinieren lässt. Weiter sind wegen der unterschiedlichen Position der Nullen die Vektoren (z1-z2) und (z1+z2) linear unabhängig, so dass beide eine Basis von <z1,z2,z3> darstellen.

Answer 1

Da von den 3 Vektoren z1, z2, z3 je 2 voneinander

linear unabhängig sind, kannst du als Basis einfach 2 von

denen wählen. Und wenn du z1 und z2 nimmst, dann sind

automatisch auch z1-z2  und  z1+z2 lin. unabh.  Das ist bei 

zwei lin . unabhängigen Vektoren immer so. Und diese

beiden haben eben die gewünschten 0en.