Quadratische Gleichung - Textaufgabe

Question

Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, bei der der Verbrauch am geringsten ist.

y= 0,0005v² -0,04v +7

y= Benzinverbrauch in Liter pro 100 km

v= Geschwindigkeit in km/h

Answer 1

Das ist eine nach oben geöffnete quadratische Parabel mit demScheitelpunkt (40|6,2). Bei 40 km/h ist der Verbrauch am geringsten (6,2 l/(100km).)

Answer 2

Mit Symmetrie:

Setze y = 7 ein und löse die Gleichung. Der Verbrauch ist am niedrigsten in der Mitte zwischen den beiden Lösungen.

Mit Scheitelpunktform:

y= 0,0005v² -0,04v +7

 = 0,0005(v² - 80v + 14000)

 = 0,0005(v² - 80v + 40² - 40² + 14000)

= 0,0005((v-40)² - 40² + 14000)

= 0,0005((v-40)² + 12400)

= 0,0005(v-40)² + 6,2

Mit Differentialrechnung (Oberstufe):

y'= 0,0005·2·v^2-1 - 0,040·1·v^1-1 = 0,001v - 0,04

y' = 0 ⇔ 0,001v - 0,04 = 0 ⇔ v = 40

Answer 3

Setze y ' = 0 (1.Ableitung Null setzen)

Answer 4

du musst einen Tiefpunkt suchen.

f(v)=0,0005v^2-0,04v+7

f´(v)=0,001v-0,004

notwendige Bedingung:

f´(v)=0

0,001v-0,04=0

0,001v=0,04

v=40

jetzt schauen, ob es wirklich ein Tiefpunkt ist.

hinreichende Bedingung:

f´´(v)>0

f´´(v)=0,001

f´´(40)=0,001>0 => Tiefpunkt:

Hier der Graph

~plot~ 0,0005x^2-0,04x+7 ~plot~

Antwortsatz:

Bei 40km/h ist der Verbrauch am geringsten.

Ich hoffe ich konnte dir weiter helfen.+

Gruß

Smitty

Answer 5

y' = 0.001 v -0.04 =0

0.001 v -0.04 =0

0.001 v  =0.04  |: 0.001

v= 40 km/h

Nachweis mit 2. Ableitung