Komplexe Zahlen Potenzieren?!

Question

ANbei zwei Aufgaben, die ich leider nicht ganz nachvollziehen kann...

IN rot die eigentlich richtigen lösungen, die ich aber nicht erhalte... .

Was masche ich denn falsch, kann mir eventuell jemand helfen?

Vielen DAnk!

Comments

Habe bei der ersten geralde selber meinen Fehler gefunden...ich muss cos(-30*4) ich dachte immer mal 2 aber es muss ja mal der Hochzahl sein!

Aber trotzdem komme ich in der POlarform auf hoch 60GRade...nicht auf die hoch 120

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wo kommen die 'hoch 120' her? Soll das ein Teil der Lösung sein?

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das rot geschriebene ist die Musterlösung, die ich erreichen sollte...!

Answer 1

Hallo Alonso,

"Was masche ich denn falsch" falsch ist schon das \(r=2\sqrt{3}\) und das  \(\varphi=-30°\) - wie kommst Du darauf?

$$\left( 3\sqrt{3} \cdot i\right)^4= \left( 3\sqrt{3}\right)^4 \cdot i^4 = 729 \cdot (-1)^2=729$$

Korrektur: Ah  - der Punkt soll ein Minus sein!

$$\left( 3 - \sqrt{3} \cdot i\right)^4 = (2\sqrt{3})^4 \left( \cos 4\cdot 30° - i\cdot \sin 4 * 30°\right) \\ \space= 144 \left( \cos 120° - i\cdot \sin 120°\right) $$

so?

Comments

dass ist ein minus hinter der 3!

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r ist der Betrag und q der Winkel (arctan...)

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Muss es nicht

$$ \left( 3 - \sqrt{3} \cdot i\right)^4 $$heißen?

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genau! Richtig, steht ja auch oben ;)

meine Schrift ist nur nicht ganz so schön...sorry

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ich habe das korrigiert (s.o.)

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Was ich nicht ganz nachvollziehen kann ist

(cos4⋅30°−i⋅sin4∗30°)  denn es ist doch -30 GRad, da arctan(-Wurzel3 / 3 ) = -30

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Mach es doch so: $$ \left( 3 - \sqrt{3} \cdot i\right)^4 = \\ 36\cdot\left( 1 - \sqrt{3} \cdot i\right)^2 = \\ 36\cdot\left( -2 - 2\cdot\sqrt{3} \cdot i\right) = \\ -72 -72\cdot \sqrt{3} \cdot i.$$

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Beim Potenzieren wird der WInkel mit dem Exponenten multipliziert. Als e-Funktion

$$\left( e^{-30°}\right)^4 = e^{4\cdot(-30°)}$$ bzw. mit sin und cos $$\left( \cos -30° + i \cdot \sin -30°\right)^4 =  \cos \left( 4\cdot(-30°)\right) + i \cdot \sin\left( 4\cdot (-30°)\right)\\ \space =\cos 120° - i \cdot \sin 120°  $$

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Im zweiten Fall hast Du richtig gerechnet! 

$$\left( 2\cdot e ^{-i\cdot 30°}\right) ^8 = 256 \cdot e^{-i \cdot 240°} = 256 \cdot e^{i \cdot 120°}$$ da \(-240° = +120°\)

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Warum hier dann nicht cos(-120) sondern cos(120) ???

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"Warum hier dann nicht cos(-120) sondern cos(120) ???" Weil $$\cos( x) = \cos( -x) $$ für alle \(x \in \mathbb{R}\).