Komplexe Zahlen - Potenzieren von komplexen Zahlen

Question

haben an der Uni in Mathematik das Thema Komplexe Zahlen begonnen zu behandeln.

Verscueh mir gerade in meinem Heft die Mitschriften nochmal zu verinnerlichen, da es schon recht schwierig war, zumindest ein Teil.

Beim Potenzieren von komplexen Zahlen zⁿ 

habe ich mir folgendes notiert aber nicht verstanden.

Allg: z=  l z lⁿ * [cos(Phasenwinkel fi) ) + j*sin (Phasenwinkel) ]

Bsp: z³ = [cos(Phasenwinkel)+ j*sin(Phasenwinkel) ]³ =   l z l³ *{cos (fi) *[ cos² (fi)- 3 sin² (fi) ] + j*sin (fi)* [3*cos² (fi)-sin² *(fi) ] }

Verstehe diesen Term gar nicht....

Answer 1

Hallo

 1. zu wissen: beim Multiplizieren, werden die Beträge multipliziert, die Winkel addiert. deshal beim Potenzieren mit n , Betrag potenzieren, Winkel vervielfachen also (r*(cos(\phi)+isin(\phi))^n=r^n*(cos(n*\phi)+isin(n*\phi))

jetzt wurde in deiner Formel cos(3\phi) umgeschrieben mit

cos(3*\fi)=cos (fi) *[ cos^2 (fi)- 3 sin^2 (fi) ] was allerdings unüblich ist, und für andere Potenzen auch immer komplzierter wird. aber unter Trigonometrischen Formeln findest du so was in wiki.

Gruß ledum

Answer 2

Es geht viel einfacher. Du kannst z als e^ln(z) schreiben. Nun wendest du die dritte Potenzregel an und bekommst e^(ln(z)*n).

Nun musst du wissen was der natürliche Logarithmus einer komplexen Zahl ist. Du kannst jede komplexe Zahl a+bi in der Form re(^i*phi), wobei r der Betrag ist und phi der Winkel zwischen Betrag und Reeller Achse.

ln(r*e^(i*phi)= ln(r)+i*phi. Wenn du das in e^(ln(z)*n) einsetzt, ein bisschen herumrechnest, kannst du auf das Ergebnis kommen, indem du die eulersche Formel anwendest.