Potenzieren von komplexen Zahlen

Question

Hey:)

Gegeben ist die komplexe Zahl 5+5i. Nun wird von uns verlangt, dass wir 5 verschiedene Lösungen angeben, also w^5

Ich gehe mal davon aus, dass das Potenzieren damit gemeint ist. Folgende Formel ist mir zwar bekannt, aber ich kann sie nicht richtig anwenden:(

r*e^iphi

Nun soll folgendes angegeben werden:

W0

W1

W2

W3

W4

Aber wie ??

Comments

Lautet die Gleichung 

w^{5} = 5 + 5i   ?

Oder: Welche Gleichung soll gelöst werden? 

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Unsere Dozentin hat es leider nicht genauso hingeschrieben, aber ich gehe davon aus. Wenn da 5 verschiedene Lösungen rauskommen, dann ist es das... Unsere Dozentin schreibt und sagt leider nie, was genau sie von uns erwartet. Man soll es sich quasi selber denken -.-

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Dann solltet du aber theoretisch so etwas wie hier https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen in deinen Unterlagen finden. 

w^5 = 5 + 5i

hat tatsächlich 5 Lösungen in der komplexen Zahlenebene. 

Answer 1

Hier eine allgemeine Anleitung:    ( die Lösungsvariable ist z statt w und w = 5 + 5i ) 

Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w   [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]
w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · eⁱ ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )                                       [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].
Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:
r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .
Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1
aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ]
[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw + k·2π)/n} ]

Rechnerkontrolllösungen deiner Gleichung  w⁵  =  5 + 5 i
(die w-Terme sind nicht nummeriert, weil mein Rechner die Lösungen nicht in der Reihenfolge angibt, in der man sie gemäß Anleitung errechnet.) 

w  ≈  0.6713419184 - 1.317582701·i     ∨     w  ≈  -1.317582701 + 0.6713419184·i

∨    w  ≈  1.460551676 + 0.2313286598·i     ∨    w  ≈  -1.045639552 - 1.045639552·i

∨    w  ≈   0.2313286598 + 1.460551676·i  

Gruß Wolfgang