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IMG_0202.PNG Sind die Aussagen falsch ? Ich vermute sie sind falsch, jedoch fehlt mir eine Begründung. Könnte mir jemand hier helfen ? 

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a) ist falsch, wähle f(x)=x , D=ℝ

b) ist falsch , denn f ist nicht injektiv (f(1)=f(2))

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Ich bestehe nicht ganz die Begründung, wie ich es beweisen muss 

Was verstehst du genau nicht?

Die Begründung steht bei mir oben jeweils rechts vom Komma.

Warum wähle ich f(x)=x ? 

Das ist ein Gegenbeispiel. Das habe ich mir überlegt. f(x)=x ist erstmal eine einfache Funktion. Sie ist zudem stetig, erfüllt also auch die Bedingung der ersten Aussage. Unglücklicherweise ist die Funktion jedoch unbeschränkt. 

Könnten Sie mir den Unterschied zwischen Beschränktheit und Unbeschränktheit erklären, woran ich das erkennen kann ?

Eine Funktion ist beschränkt, wenn alle Funktionswerte in einem Intervall liegen, z.B die Funktion

f(x)=sin(x)

~plot~ sin(x);1;-1 ~plot~
Sie nimm maximal den Wert 1 an und minimal den Wert -1 . Das sind die Schranken.

Die Funktion f(x)=x hingegen 

~plot~ x ~plot~

wird betragsmäßig immer größer, wenn x gegen ± ∞ strebt, ist also unbeschränkt.

Danke ! Und wieso hast du bei der anderen Aufgabe die Injektivität als Beweis herangezogen ?

Weil Injektivität eine Voraussetzung für Invertierbarkeit ist und dies bei der gegebenen Funktion offensichtlich nicht erfüllt ist. Mit einer Skizze zu der Funktion erkennt man das ganz schnell.

wie würde die umkehrfunktion dazu aussehen ? 

wie würde die umkehrfunktion dazu aussehen ?

Die Umkehrfunktion existiert nicht, daher kann man nix zeichnen.

Ich könnte zB den Wert 1 einsetzen in die beiden Funktionen und dadurch lässt sich erkennen das die beiden Funktionen nicht Injektiv sind, wahr ?

Bei der zweiten Frage handelt es sich um eine Funktion, nicht zwei. Die Funktion ist stückweise definiert und sieht so aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=piecewise%5B%7B%7B%5B%2F%2Ffunction:0%2F%2F%5D,%5B%2F%2Frange:x%3C0%2F%2F%5D%7D,+%7B%5B%2F%2Ffunction:1%2F%2F%5D,%5B%2F%2Frange:x%3E%3D0%2F%2F%5D%7D%7D%5D

und da sieht man: f(1)=f(2) ---> nicht injektiv--> nicht invertierbar

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