Gegenbeispiel nennen Begründung

Question

 Sind die Aussagen falsch ? Ich vermute sie sind falsch, jedoch fehlt mir eine Begründung. Könnte mir jemand hier helfen ? 

Answer 1

a) ist falsch, wähle f(x)=x , D=ℝ

b) ist falsch , denn f ist nicht injektiv (f(1)=f(2))

Comments

Ich bestehe nicht ganz die Begründung, wie ich es beweisen muss 

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Was verstehst du genau nicht?

Die Begründung steht bei mir oben jeweils rechts vom Komma.

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Warum wähle ich f(x)=x ? 

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Das ist ein Gegenbeispiel. Das habe ich mir überlegt. f(x)=x ist erstmal eine einfache Funktion. Sie ist zudem stetig, erfüllt also auch die Bedingung der ersten Aussage. Unglücklicherweise ist die Funktion jedoch unbeschränkt. 

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Könnten Sie mir den Unterschied zwischen Beschränktheit und Unbeschränktheit erklären, woran ich das erkennen kann ?

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Eine Funktion ist beschränkt, wenn alle Funktionswerte in einem Intervall liegen, z.B die Funktion

f(x)=sin(x)

~plot~ sin(x);1;-1 ~plot~
Sie nimm maximal den Wert 1 an und minimal den Wert -1 . Das sind die Schranken.

Die Funktion f(x)=x hingegen 

~plot~ x ~plot~

wird betragsmäßig immer größer, wenn x gegen ± ∞ strebt, ist also unbeschränkt.

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Danke ! Und wieso hast du bei der anderen Aufgabe die Injektivität als Beweis herangezogen ?

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Weil Injektivität eine Voraussetzung für Invertierbarkeit ist und dies bei der gegebenen Funktion offensichtlich nicht erfüllt ist. Mit einer Skizze zu der Funktion erkennt man das ganz schnell.

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wie würde die umkehrfunktion dazu aussehen ? 

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wie würde die umkehrfunktion dazu aussehen ?

Die Umkehrfunktion existiert nicht, daher kann man nix zeichnen.

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Ich könnte zB den Wert 1 einsetzen in die beiden Funktionen und dadurch lässt sich erkennen das die beiden Funktionen nicht Injektiv sind, wahr ?

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Bei der zweiten Frage handelt es sich um eine Funktion, nicht zwei. Die Funktion ist stückweise definiert und sieht so aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=piecewise%5B%7B%7B%5B%2F%2Ffunction:0%2F%2F%5D,%5B%2F%2Frange:x%3C0%2F%2F%5D%7D,+%7B%5B%2F%2Ffunction:1%2F%2F%5D,%5B%2F%2Frange:x%3E%3D0%2F%2F%5D%7D%7D%5D

und da sieht man: f(1)=f(2) ---> nicht injektiv--> nicht invertierbar