30 Münzen werden geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigen genau 15 Wappen?

Question

Bräuchte einmal einen Ansatz nach dem Urnenmodell.

Habe mir gedacht man zieht mit zurücklegen 30mal aus 2 Kugeln, aber das ergibt leider dann keinen Sinn mehr.

Comments

> man zieht mit zurücklegen 30mal aus 2 Kugeln

Genau so geht's.

> aber das ergibt leider dann keinen Sinn mehr.

Wie kommst du darauf?

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Bei mir kommt wad ganz krummes raus. Die Chancen sind quasi null, kann das stimmen?

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Genauer gesagt sind die Chancen ungefähr 0,1445. Das würde ich aber nicht zu 0 abrunden :-)

Answer 1

gerade mit Zurücklegen gibt das doch Sinn!

X = Anzahl der Wappen

Bernoullikette mit p = 0,5  und der Länge n = 30

$$ P(X = k)  =  \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$$$ P(X = 15)  =  \begin{pmatrix} 30 \\ 15 \end{pmatrix} \cdot 0,5^k \cdot 0,5^{15} ≈ 0,1445 = 14,45 \% $$

Gruß Wolfgang

Comments

Danke erstmal, ich erkenne da allerdings relativ wenig, da ich andere Schreibweisen kenne. Welches Urnenmodell liegt dem zugrunde? Und welche Formeln mit Fakultäten werden gebraucht?

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Das wird berechnet mit Hilfe der binomialverteilung. Das zugehörige urnenmodell ist ziehen mit zurücklegen.

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$$ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\frac { n! }{ k! · (n-k)! } $$

Urnenmodell: Eine rote, eine schwarze Kugel. Eine Kugel wird gezogen und dann zurückgelegt.

Dieses ZE wird 30-mal  wiederholt.

So etwas nennt man Bernoullikette.

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Die angesprochene Formel steht in meiner Tabelle allerdings unter ohne zurücklegen/ohne Beachtung der Reihenfolge, sodass ich diese nicht benutzt habe. Für Experimente mit zurücklegen kenne ich nur n^k

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Du kannst dir auch ein Baumdiagramm mit 30 Stufen vorstellen, das immer nach Z/K verzweigt.

Die Wahrscheinlichkeit jedes Pfades ist  0,5³⁰ 

Jetzt musst du die Anzahl der Pfade mit genau 15-mal K bestimmen, du musst also 15 Plätze von 30 auswählen, an denen K steht. 

Dafür gibt es  \(\begin{pmatrix} 30 \\ 15 \end{pmatrix}\) Möglichkeiten.

P =  \(\begin{pmatrix} 30 \\ 15 \end{pmatrix}\) ·  0,5³⁰ 

Ansonsten kann ich dir leider nicht weiterhelfen.

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Die gängige Praxis bei solchen Aufgaben zurzeit ist in meinem Kurs halt Anzahl der günstigen Möglichkeiten/Anzahl aller Möglichkeiten 

und auf diese Weise bekomme ich da beim besten Willen dieses Ergebnis nicht raus, mit nCr(30,15)x0,5^30 halt schon. 

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Das kann man auch auf deine Weise lösen. Anzahl der Pfade mit 15 mal Wappen und 15 mal Kopf ist wie oben beschrieben (30 über 15). Anzahl aller Pfade beim 30maligen Münzwurf ist 2^30. Wenn du (30 über 15) durch 2^30 teilst bekommst du auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit heraus.

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Sehr gut Koffi :-)

Ja, das liegt daran, dass 

 0,5³⁰ =  (1/2)³⁰  und damit \(\begin{pmatrix} 30 \\ 15 \end{pmatrix}\) * 0,5³⁰  = \(\begin{pmatrix} 30 \\ 15 \end{pmatrix}\) / 2³⁰  ist. 

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Statt des Baumdiagramms kann man sich auch ein 30-Tupel vorstellen, das man

für die günstigen Möglichkeiten  mit  15 K + 15 Z   und 

für alle Möglichkeiten beliebig  füllen muss. 

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Wie kann ich das denn jetzt noch mit dem Urnenmodell begründen? Weil das würde ja heißen man zieht aus 30 Kugeln 15mal...

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Wenn man aus einer Urne mit gleich vielen roten und schwarzen Kugeln 30-mal mit Zurücklegen eine Kugel  zieht und die Farbe feststellt (W. für jede Farbe = 0,5) , ist das doch gedanklich nichts Anderes, wie wenn man 30-mal eine Münze wirft und K oder Zahl feststellt.