Verständnisfrage: Ebene zu Koordinatenachsen/Gerade senkrecht auf Ebene

Question

Mir sind ein paar Verständnisfragen aufgekommen:

Wenn zu prüfen ist ob eine Ebene einen Schnittpunkt mit einer der Koordinatenachsen(bezogen auf den ℝ^3) besitzt, setze ich die Ebene x=p+k1*u+k2*v (p Stützvektor, u,v Spannvektoren) mit bspw. einem Schnittpunkt mit der x-Achse gleich mit [x|0|0]?

Eine Gerade die senkrecht auf einer Ebene stehen soll: Der Richtungsvektor der Gerade kann der Normalvektor der Ebene(u x v) sein? 

Zwei orthogonale Ebenen können konstruiert werden, indem das Skalarprodukt beider Normalvektoren 0 ist?

Falls eine Ebene als einzigen gemeinsamen Punkt mit zwei Geraden deren Schnittpunkt beinhalten soll, wählt man für den Stützvektor der Ebene den Schnittpunkt? Wie wählt man in diesem Fall die Spannvektoren der Ebene in Bezug auf die beiden Richtungsvektoren der sich schneidenden Geraden?

Herzlichen Dank für eure Hilfe!

Answer 1

Hallo middleton,

"Wenn zu prüfen ist ob eine Ebene einen Schnittpunkt mit einer der Koordinatenachsen(bezogen auf den ℝ3) besitzt, setze ich die Ebene x=p+k1*u+k2*v (p Stützvektor, u,v Spannvektoren) mit bspw. einem Schnittpunkt mit der x-Achse gleich mit [x|0|0]?" das ist richtig. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten \(x\), \(u\) und \(v\).

"Eine Gerade die senkrecht auf einer Ebene stehen soll: Der Richtungsvektor der Gerade kann der Normalvektor der Ebene(u x v) sein? " das ist auch richtig - nicht nur 'kann' sondern der Richtungsvektor ist ein Vielfaches des Normalenvektor der Ebene.

"Zwei orthogonale Ebenen können konstruiert werden, indem das Skalarprodukt beider Normalvektoren 0 ist?" Stimmt auch.

"Falls eine Ebene als einzigen gemeinsamen Punkt mit zwei Geraden deren Schnittpunkt beinhalten soll, wählt man für den Stützvektor der Ebene den Schnittpunkt?" Es kann der Stützvektor der Ebene sein, aber es kann auch jeder beliebige andere Punkt auf der Ebene gewählt werden. Je nachdem wie die sonstigen Anforderungen lauten.

"Wie wählt man in diesem Fall die Spannvektoren der Ebene in Bezug auf die beiden Richtungsvektoren der sich schneidenden Geraden?" Ich unterstelle: die Geraden sind verschieden und schneiden sich. Dann kannst Du einen Vektor wählen, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren steht (Kreuzprodukt) und einen zweiten, der sich aus der Summe der beiden Richtungsvektoren zusammen setzt. Es gibt auch hier unendlich viele Möglichkeiten. Du könntest jedes Paar Vektoren nehmen, das zusammen mit einem der beiden Richtungsvektoren ein linear unabhängiges Tripel ergibt. Mit anderen Worten, keiner der Richtungsvektoren der Geraden darf in der Ebene der Spannvektoren liegen.

Gruß Werner

Comments

Bitteschön; es freut mich, dass ich Dir helfen konnte.

Answer 2

  <<  Wenn zu prüfen ist ob eine Ebene

   << einen Schnittpunkt mit einer der Koordinatenachsen

     << (bezogen auf den ℝ3) besitzt, setze ich die Ebene x=p+k1*u+k2*v

      (p Stützvektor, u,v Spannvektoren) mit bspw. einem Schnittpunkt mit der x-Achse gleich mit [x|0|0]?

     Nein es geht einfacher. Du hast die Ebene gegeben in Parameterform mit Basisvektoren u und v

     E  (  P0  ;  r  ,  s  )  =  P0  +  r  u  +  s  v  =  P    |  -  P0         (  1a  )

       wobei P = ( x | y | z ) ein beliebiger Punkt der Ebene sei. Das schreibe ich jetzt um wioe angedeutet

         r  u  +  s  v  =  P  -  P0         (  1b  )

     Rein formal juristisch ist ( 1b ) ein LGS zur Bestimmung der beiden Unbekannten r und s . Seine ===> Koeffizientenmatrix ( KM ) ist vom format 3 X 2  und hat ===> Rang 2 ( weil du hast ja die beiden Basisvektoren u und v ) Dann ist aber die erweiterte KM von ( 1b ) QUADRATISCH vom Format 3 X 3 und hat auch Rang 2  ( Denn wir behaupten ja; dass sich der Vektor P - P0 darstellen lässt als Linearkombination von u und v ; sonst gäbe es ja keine Lösung. )

    Die DETERMINANTE der erweiterten KM VERSCHWINDET .

   Falls du nicht wissen solltest, was eine Determinante ist. Spatvolumen; ===> Spatprodukt.

    Und wie man sie berechnet;  Onkel Sarrus; Hauptdiagonalen Minus Nebendiagonalen. Du brauchst keine einzige Gleichung lösen

              det (  u  ;  v  ;  P  -  P0  )   =  0        (  2  )

     Was suchst du? Die Koordinatenform ( KF ) der Ebene.  Die drei Koordinaten x , y und z stecken ja als Variable in dem Punkt P .  Es gibt auch Online Matrixrechner, die dir sogar Determinanten mit Buchstabenalgebra ausrechnen. Oder sprich mal mit deinem Lehrer; oder ich führe es dir mal an einem konkreten BNeispiel vor. Wenn du aber die Ebene     in KF hast, dann ist doch der Rest ein Klax.

      E  (  x  ;  y  ;  z  )  =  a  x  +  b  y  +  c  z  =  k  =  const           (  3  )

    Suchst du den Schnittpunkt mit der x-Achse, so musst du in ( 3 ) setzen y = z = 0 und genau so für sämtliche übrigen Achsen.

     <<    Eine Gerade die senkrecht auf einer Ebene stehen soll:

   <<    Der Richtungsvektor der Gerade kann der Normalvektor der Ebene(u x v) sein?

     Ja schon. Hast du schon mal in Erdkäs von dem ===> Gradienten eines Höhenlinienbildes gehört?

   Was die HöhenLINIEN im |R ² , sind die NiveauFLÄCHEN im |R ³  Hier wäre es echt von Vorteil, wenn du schon mal von ===> Differenzialrechnung gehört hättest. Weil was ist denn der Gradient von ( 3 ) ?

     grad  (  E  )  =  (  dE/dx  |  dE/dy  |    dE/dz  )  =  (  a  |  b  |  c  )       (  4  )

    Damit ist doch folgende Prozedur vorgegeben: Falls du die Parameterform ( PF ) hast, rechne erst über diese Determinante um in die KF . Du ersparst dir echt viel Denken; weil die KOEFFIZIENTEN der Ebene sind IDENTISCH mit den KOMPONENTEN des Gradienten bzw. Noemalenvektors.