Wie Umkehrfunktion von f(x) = √(2x²-1)+x bilden?

Question

Wie kann ich folgende Funktionsgleichung als Umkehrabbildung berechnen?

$$ f(x) = \sqrt{2x^2-1} + x $$

Answer 1

  Solltest du noch Schüler sein, bist du wahrscheinlich überfordert. Es handelt sich um eine ===> homogene quadratische Form ( HQF )

          2  x  ²  -  (  y  -  x  )  ²  =  1        (  1a  )

      x  ²   -  y  ²  +  2  x  y  =  1      (  1b  )

      Ihr ===> Tensor lautet

      

          H  =      1        1

                       1      - 1        =  S3  +  S1           (  2  )

          Vielleicht findest du im Studium ja auch mal die ===> Paulimatrizen geil.  S1 ist die x-Komponente und S3 die z-Komponente des Spins; Paulimatrizen haben immer Eigenwerte ( +/- 1 ) " Spin up / Down "

     Addieren kannst du sie wie Vektoren:

       S  (  45 °  )  =     1 / sqr ( 2 )   (  S1   +  S3  )                (  3  )

     D.h. dieses Resultierende S in ( 3 ) hat auch Eigenwerte ( +/- 1 )     Damit hat aber Matrix ( 2 ) Eigenwerte ( +/- sqr ( 2 ) )

      entscheidend ist aber etwas anderes:

      1) Hinter jeder HQF verbirgt sich ein Kegelschnitt.

       2) Wenn die beiden Eigenwerte entgegen gesetztes Vorzeichen haben, handelt es sich um eine Hyperbel.

     3) Sind die Eigenwerte außerdem noch betragsgleich, liegt eine ===> gleichseitige Hyperbel vor, deren ===> Asymptoten aufeinander senkrecht stehen.

      An sich müsstest du dir mal klar machen, was eine ===> Hauptachsentransformation ist.  Denn wir können praktisch durch eine Drehung des Koordinatensystems erreichen, dass die Nebendiagonalelemente von ( 2 ) verschwinden. Dies ist in so fern von Bedeutung, als erst die Hauptachsen mit den Symmetrieachsen der ( beiden ) Hyperbeläste zusammen fallen; gegenüber den Ausgangskoordinaten besteht diese Symmetrie nicht.

      Rein vom Spin her heißen diese Hauptachsen auch  " Spinoren " Und zwar weiß jeder Physiker , dass sich der Spinor nur um den halben Winkel dreht; Matrix ( 2 )  beschreibt einen Spin, der um 45 ° gedreht wurde - die Hauptachsen daher nur um 22.5 °

    Schönen Gruß an deinen Lehrer; deine Funktion stellt eine um 22.5 ° gegedrehte Hyperbel dar ...

Answer 2

Die Umkehrfunktion von$$ f(x)=\sqrt[]{2x^2-1} +x$$ Ist:$$ f^-(x)=-x-\sqrt[]{2x^2-1}$$ Hier zur Überprüfung: https://www.desmos.com/calculator/eujgda7k5z

Comments

Könntest du mir vielleicht erklären wie du auf das Ergebnis gekommen bist?

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1   ↦_f    2   ↦_f^{-1}    -2 +√7   ≠ 1 

Da sollte aber wieder 1 herauskommen :-) 

Ich sehe keine Möglichkeit, die Funktionsgleichung  y = f(x)  explizit nach x = f^-1(y)  aufzulösen, denn die Funktion ist nicht injektiv. 

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Hallo Wolfgang,

f(1)=√(2*1^2-1)+1=2

f^-(1)=-1-√(2*1-1)=-2

Also umgekehrt sehe da keinen Fehler

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@astronomer

Du musst die Variablen vertauschen. x -> y

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@Anton

Du musst 2 in deine UF einsetzen und dann müsste wieder der ursprüngliche Wert 1 herauskommen!

> Du musst die Variablen vertauschen. x -> y

Du müsstet zuerst die Funktionsgleichung nach x auflösen und dann x und y vertauschen.

Vielleicht sollt man besser keine Antwort schreiben, wenn man überhaupt nicht weiß, worum es eigentlich geht :-) 

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> Du musst die Variablen vertauschen. x -> y

Du müsstet zuerst die Funktionsgleichung nach x auflösen und dann x und y vertauschen.

Das ist nicht notwendig. Wie/Wann man es macht ist gehopst wie gesprungen.

Vertauschen der Variablen und nach y auflösen:

$$x = \sqrt{2y^2-1}+y   \quad|-y$$

$$4x-y = \sqrt{2y^2-1} \quad|\text{Quadrieren}$$

$$(x-y)^2 = 2y^2-1$$

$$x^2-2xy+y^2 = 2y^2-1$$

$$y^2+2xy-x^2-1 = 0 \quad |\text{Ergaenzen von }+x^2-x^2$$

$$y^2+2xy+x^2 - 2x^2-1 = 0$$

$$(y+x)^2 = 2x^2+1\quad|\text{Wurzel ziehen}$$

$$y+x = \pm\sqrt{2x^2+1}$$

$$y = -x\pm\sqrt{2x^2+1}$$

Der Definitionsbereich hätte eingeschränkt gehört, wie von Wolfgang angesprochen. Sähe dann so aus (dabei ist blau das f(x)):

~plot~ sqrt(2*x^2-1)+x;(x>0.7)*(-x+sqrt(2x^2+1));(x>-0.7)*(-x-sqrt(2x^2+1));x ~plot~

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Hallo Unknown,

Ich habe mir das jetzt so gedacht:

x=√(2y^2-1)+y  |-y

x-y=√(2y^2-1)   |^2

(x-y)^2=2y^2-1

x^2-2xy+^2=2y^2-1 

Zusammenfassen:

y^2+2xy-x^2-1=0

Jetzt pq-Formel mit p=2x und q=-x^2-1:

y=-x+√(x^2+x^2+1)=√(2x^2+1)-x

-2x/2±√((2x/2)^2+x^2-1))

y^-1=-x±√(2x^2+1)

Das wäre mein anderer Vorschlag!

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@-Wolfgang-

Es hat ein bisschen gedauert mich da durchzukämpfen, um den Sachverhalt zu verstehen.

Aber wie Konfuzius es schon um 500 v. Chr sagte:

"Wer fragt, ist ein Narr für eine Minute. Wer nicht fragt, ist ein Naar sein Leben lang"

Bei mir waren es ca. 40min, aber jetzt hats Klick gemacht und ich konnte meinen Lösungsvorschlag posten.

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Bleib am Ball! 

> -2x/2±√((2x/2)²+x² + 1))      zweitletzte Zeile  

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Ja, der Rest stimtm aber!

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Vielleicht war das auch dein Fehler bei deiner Antwort. Ich dachte fälschlicherweise, du hättest einfach x und y vertauscht ( auch deine späteren Kommentare legten das nahe :-)).  Aber dann hätte ja vorn x statt -x stehen müssen. Sorry, alter Freund.