bestimmung der tiefpunkte und ortskurve exponential

Question

Bestimmen Sie alle Tiefpunkte in Abhängigkeit vom Parmeter t und anschließend die Ortskurve..

Wie geht man da vor ?

f t (x) = (x^2-tx)*e^{x}

Answer 1

f _t ' (x) = ( x^2 + x(2-t) - t) *e^x   = 0 

         <=>   x^2 + x(2-t) - t = 0 

x = 0,5*(t-2 ±√(t^2 + 4) ) 

f _t '' (x) = ( x^2 + x(4-t) - 2t+2) *e^x

==>  f _t '' ( 0,5*(t-2 +√(t^2 + 4) ) ) = √(t^2 +4) * e ^{......} > 0 , also MIn. bei 0,5*(t-2 +√(t^2 + 4) ) 

bei der anderen Stelle ist  die 2. Abl. negativ, also dort Max.

==>  Tiefpunkte sind    T(0,5*(t-2 +√(t^2 + 4) ) ;    2+√(t^2 +4) * e ^{0,5*(t-2-√t^2+4)}  )  .

Comments

  Hey Exodus; wie man Ortskurven rechnet, hab ich in dem hier ach so verpönten ===> Ly cos gelernt, dessen bloße Erwähnung hier mit der vorläufigen Hinrichtung geahndet wird. In der Altsteinzeit, als ich noch die Logaritmen in die Stelen eingravieren musste, gab es da nämlich Schüler, die das noch konnten.

   Ein wenig ärgere ich mich schon darüber, dass du eine Antwort als beste bewertest, die das Problem auch im Ansatz verfehlt. Ein altes erbübel; ich weiß. Gar nicht wenige Schüler vermeinen, wo immer du die Mitternachtsformel einsetzen kannst, sei es auch ratsam, dies zu tun

   Klar wenn ich mir Mühe gebe, dass meine Antwort nicht immer die erste sein kann.

   Unabhängig von meiner Antwort solltest du dir mal im Internet rein ziehen, wie Polynomdivision a la Horner geht - wenn du es nicht schon längst wissen solltest.

Answer 2

   Du hast zwei Nullstellen; die triviale x1 = 0 und dann noch x2 = t . In dem Intervall ( 0 , t ) ist die Funktion negativ; dort erwarten wir also das Minimum. 

   Zum Ableiten einer e-Funktion empfehle ich immer ===> logaritmisches Differenzieren, eine Sonderform des ===> impliziten Differenzierens.

     ln  (  y  )  =  x  +  ln  (  x  ²  -  t  x  )      (  1a  )

    y  ' / y  =  0  =  1  +  (  2  x  -  t  )  /  (  x  ²  -  t  x  )      (  1b  )

     x  ²  +  (  2  -  t  )  x  -  t  =  0           (  1c  )  

    Jetzt wird es ein bisschen hippelig; du musst praktisch die Umkehrfunktion t = t ( x ) suchen. Wir wollen ja die Extremata einsetzen in deine Ausgangsformel.

        t  (  x  +  1  )  =  x  ²  +  2  x        (  2a  )

    t  =  (  x  ²  +  2  x  )  :  (  x  +  1  )      (  2b  )

    t  x  =  (  x  ³  +  2  x  ²  )  :  (  x  +  1  )   (  2c  )

    Weil der will ja  t x wissen in deiner Formel.

    Hier ich mach gleich die Polynomdivision durch Linearfaktor ( PDLF ) ; eine Entdeckung aus dem Internet: Das geht mit dem Hornerschema

       p  (  x  )  :=  a3  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0       (  3a  )

         a3  =  1  ;  a2  =  2  ;  a1  =  0  ;  a0  =  0     (  3b  )

         p  (  x  )  :  (  x  +  1  )  =  q  (  x  )  Rest  p  (  -  1  )       (  3c  )

    Hier bei Onkel Horner kommt ja genau der selbe Funktionswert raus - Zufall? Du musst das Schema mit protokollieren ( Ein anständiger Softwerker gibt den Arbeitsvektor immer zurück. ) Die Hornerfolge besteht aus den Gliedern

      p3;2;1;0  (  p  ;  -  1  )        (  4a  )

      p0  (  p  ;  -  1  )  =  p  (  -  1  )    (  4b  )

     und die Entdeckung;   vgl.   ( 3c )

    p3;2;1  (  p  ,  -  1  )  =  a2;1;0  (  q  )       (  4c  )

    Die GLIEDER DER HORNERFOLGE sind schon die KOEFFIZIENTEN DES FAKTORPOLYNOMS .

     p3  (  p  )            =  a3  (  p  )          =       1             =  a2  (  q  )          (  5a  )

     p2  (  p  ;  -  1  )  =  a2  (  p  )  -  p3  =  2  -  1  =  1  =  a1  (  q  )      (  5b  )

      p1  (  p  ;  -  1  )  =  a1  (  p  )  -  p2  =  0  -  1  =  (  - 1 )   =  a0  (  q  )     (  5c  )

     p0  (  p  ;  -  1  )  =  a0  (  p  )  -  p1  =  0  +  1  =  1  =  p  (  -  1  )       (  5d  )

       (  x  ³  +  2  x  ²  )  :  (  x  +  1  )  =  x  ²  +  x  -  1  +  1 / ( x + 1 )     (  5e  )

   Die Probe ist sehr leicht; da soll es ja Lehrer geben, die haben bis Heute noch nie davon gehört ...

   PD ist schon wichtig; wenn  du nämlich ( 5e ) einsetzt in deine Formel, kannst du schon mal die ganzrationalen Teile zusammen rechnen;

    

    f_t  [  x  (  min  )  ]  =  [  1  -  x  -  1 / ( x + 1 ) ]  exp  ( x  )        (  6a  )

   Da wär ich schon mal neugierig; wo liegen Extrema?

    f  '  (  x  )  =  [  1 / ( x + 1 )  ²  -  x  -  1 / ( x + 1 )  ]  exp  (  x  )  =  0     (  6b  )

    x  (  x  ²  +  2  x  +  2  )  =  0   ===>  x  (  max  )  =  0       (  6c  )

   Diese Ortskurve ist streng monoton fallend; entgegen meiner sonstigen Angewohnheit mach ich lieber die Probe auf die 2. Ableitung. Die bilden wir aus dem Stand über die ===> Leibnizregel aus ( 6a )  , eine verallgemeinerte Produktregel, ein Analogon zum ===> binomischen Satz

    (  u  v  )  "  =  u  "  v  +  2  u  '  v  '  +  u  v  "      (  7a  )

     f  "  [  x  (  min  )  ]  =  - ( 2 / ( x +1 )  ³ ) exp ( x )  +  2  [  1 / ( x + 1 )  ²  -  1  ]  exp  (  x  ) +   [  1  -  x  -  1 / ( x + 1 ) ]   exp ( x )    (  7b  )

  

   Von diesen drei Termen leistet nur der erste einen Beitrag von Minus 2 ===>  Maximum

Comments

Kannst du "Diese Ortskurve" mal explizit angeben?

---

  Mea maxima; ich seh grad. Die  Abschätzung der 2. Ableitung in ( 1.7b ) habe ich mir unnötig erschwert.  Wir schrieben

     y  =  u  v       (  2.1  )

     wobei u der gerbrochen rationale Anteil war und v doe e-Funktion, die bekanntlich der Forderung genügt

      v  =  v  '  =  v  "  =  v(³)  =  ...     (  2.2  )

    Ausgangspunkt war

    y  (  0  )  =  0  ===>  u  (  0 )  =  0       (  2.3  )

    Produktregel; wegen ( 2.2 )

      y  '  =  (  u  +  u  '  )  v       (  2.4a  )

   Weil aber u in ( 2.3 ) verschwindet

    y  '  (  0  )  =  0  ===>  u  '  (  0  )  =  0      (  2.4b  )

   Leibnizregel

   y  "  =  (  u  "  +  2  u  '  +  u  )  v     (  2.5b  )

   und dmit wegen ( 2.3;2.4b )

    y  "  (  0  )  =  u  "  (  0  )      (  2.5c  )

   Nun hat aber dieses u " eine sehr einfache Struktur; sein Vorzeichen ist leicht auszumachen in  ( 1.7b )

---

  Wolf; eben erst sehe ich deinenm Kommentar. Zu dumm, dass ich noch eine eigenmächtige ergänzung geschrieben hatte. Steht doch alles da; ( 6a ) ist die Lösungs-die Ortskurve. Ich war so frei, sie mir mal in Wolfram anzusehen.

  Ansonsten bist ja du der Plot freudige; vielleicht fallen dir ja noch paar Psychotricks ein, diese Aufgabe etwas durchsichtiger zu gestalten.

   Vielleicht in einer etwas komplexeren Programmierung. Du plottest diese Kurve und markierst einzelne ihrer Punkte mit den zugehörigen t-Werten. Vielleicht fällt dir ja noch was Besseres ein.

   Meine ganz besondere Bewunderung gilt immer den Mathelehrern, die sich kein einziges Mal vertun ( dürfen ) - obwohl ich ja Summa promoviert habe.

   Ich wollte damit nur sagen, dass ich nie für die Fehlerlosigkeit meiner Ergebnisse einstehen kann; Wolfram hilft ja auch nicht immer weiter.

   Würd mich mal intressieren: Bist DU sicher, dass du jeder Zeit alles richtig machst?