Bogenlänge im Einheitskreis

Question

bräuchte jemanden, der meine Berechnungen Korrektur liest:

Einheitskreis:

x^2+y^2=r^2

Bogen eines Kreissegmentes:

b₁=pi*r*ß/180°

b₂=Integral (1+(y'(x))^2)^0,5 dx, Forderung b₁=b₂

y=(r^2-x^2)^0,5

y'=-2x*1/2*(r^2-x^2)^-0,5=-x/(r^2-x^2)^0,5

b₂=Integral(1+x^2/(r^2-x^2))^0,5 dx=Integral (r^2/(r^2-x^2))^0,5dx

daraus folgt: b₂=r^0,5*arcsin(x/r^0,5) in den Grenzen von 0 bis r

b₂=r^0,5*arcsin(r^0,5)

b₁=b₂, daraus folgt: pi*r^0,5*ß/180°=arcsin(r^0,5), daraus folgt:

sin(pi*r^0,5*ß/180°)=r^0,5 und diesen Ausdruck kann ich nicht interpretieren, garantiert irgend etwas falsch, auf der linken Gleichungsseite könnte ich noch r^0,5 gleich 1 setzen, aber dann verlässt mich mein "Mathematiklatein"

Danke für das Korrekturlesen!

Comments

Zunächst mal weißt du das r = 1 im Einheitskreis. Warum benutzt du dann r? Oder geht es nicht um den Einheitskreis?

---

wollte letztendlich eine allgemeingültige Aussage treffen, natürlich kann man r=1 setzen, dann ist der rechte Gleichungswert aber konstant

---

eigentlich, ich darf es gar nicht schreiben, bin ich auf der Suche nach einem Ersatz der Sinus- bzw. Cosinusfunktion durch ein Polynom höheren Grades, durch die Integration wurde als Ergebnis aber wieder die "arcsin" Funktion ermittelt, habe den Integrationsterm auch schon umgeformt, dann wird aber in Bezug auf die Integration, erhalte 3 Einzelsummanden in der Wurzel, alles sehr kompliziert

---

Warum beschreibst du den Kreis nicht als Parameterfunktion

f(t) = [cos(t); sin(t)]

Noch ist mir oben auch nicht ganz klar warum du über r integrierst. Ich habe das aber genau nicht angesehen.

---

möchte anschließend genau den Schwerpunkt der Cosinus- bzw. Sinusfunktion berechnen

---

die oben stehenden Gleichungen sind falsch, habe dies mit mehreren Beispielen durchgerechnet:

die Abhängigkeitsbeziehungen müssen folgendermaßen lauten:

b₁=b₂=r*arcsin(r)=pi*ß/180^*r

Einheitskreis:

Beispiel: ß=90°, r=1, daraus folgt pi/2=pi/2

ß=45°, r=2^0,5/2,daraus folgt 0,55536=0,55536

warum ist niemanden dieser Fehler aufgefallen.....?

damit dürften dann alle anderen Ergebnisse, die vorher von mir gepostet wurden auch in Frage gestellt werden.....!

---

Das Integral ist garantiert falsch berechnet worden!

Habe dies nicht "per Hand" ermittelt!

---

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Bogenlaenge.html

---

Hallo

 wenn du den Schwerpunkt der sin- Kurve also wohl zwischen 0 und \pi suchst, was soll das mit dem Integral, mit dem du (falsch) versuchst die Bogenlänge auszurechnen?

 wenn du statt über sin zu integrieren über ein Polynom intgrieren willst, kannst du z.b, das Taylotpolynom nehmen am besten das um x_0=\pi/2.

nebenbei: arcsin(r) ist ein sinnloser Ausdruck, also falsch, man kann arcsin nicht von einer Läng nehmen! 

Gruß lul

---

Ich weiß, wie der Schwerpunkt einer Kurve berechnet wird:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Schwingungen.html

Ich dachte, ich könnte mit der Berechnung der Bogenlänge ein Polynom für die Sinus- bzw. Cosinusfunktion ermitteln, so das ich genau den Schwerpunkt der Kurve ermitteln könnte. Bisher wurden ja immer nur Näherungswerte ermittelt.

---

Hallo

die Seite des link habe ich nicht verstanden, da wird nicht darüber geredet, dass  von eine sin(x) S gesucht ist, nur die Graphik suggeriert die Gestalt einer sin Kurve auf einem Teilstück.

Du sagst du willst den Schwerpunkt einer fläche, die durch sin(x) berandet ist finden?

 warum nicht die sin -Kurve selbst integrieren ? welches Stück denn? von 0 bis \pi oder sin(x)+1 auf einem anderen Stück?

mit einem Polynom bekommst du garantiert nie die exakte Lösung, aber "exakt" sind ja auch Werte von sin an beliebigen Stellen nicht, sondern immer nur Näherungen auf eine bestimmte Stellenzahl. Also musst du sagen, was du unter genau verstehst.

Gruß lul

Answer 1

Du hast doch über x integriert, und zwar von 0 bis r.

Das entspricht einem Viertelkreis und der hat die

Bogenlänge pi/2 also gleich arcsin(1) .   Passt doch.