Einheitskreis, Bogenlänge in Abhängigkeit von x oder y berechnen

Question

Eine einfache Frage:

Ist es möglich am Einheitskreis in Abhängigkeit von der y-, oder x-Koordinate, cos(phi)*r bzw. sin(phi)*r, die Bogenlänge eines Kreissegmentes zu bestimmen? Der Winkel phi soll dabei gegeben sein. Der Gesamtumfang ergibt sich ja zu 2*pi*r=2*pi 

Bin immer noch auf der Suche nach einer möglichst genauen Ersatzfunktion für die Cosinus- bzw. Sinusfunktion durch ein Polynom höheren Grades. Siehe auch meine anderen Fragen.

Man möge mir, sollte dies möglich sein, diese einfache Frage verzeihen.....! Danke für die Antworten.

Answer 1

Hallo Bert, 

wenn φ  im Gradmaß gegeben ist, musst du einfach das Bogenmaß des Winkels φ  bestimmen, .

Bogenmaß = Winkel im Gradmaß * π / 180°

Im Einheitskreis ist das Bogenmaß die Maßzahl der Bogenlänge. 

Gruß Wolfgang

Comments

Ich möchte es aber in Abhängigkeit von der x-, bzw. y-Koordinate ausdrücken. Siehe den Hintergrund meiner Frage, die Approximation der Sinus- bzw. Cosinusfunktion.

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In Abhängigkeit von einer der beiden Koordinaten geht das natürlich nicht.

φ im Bogenmaß = Bogenlänge 

φ  =   arccos( x / √(x² + y²)     für  y ≥ 0

        - arccos( x / √(x² + y²)    für  y <  0

oder 

φ =  arctan(y/x)     wenn φ  im 1. Quadraten liegt  

                              sonst Fallunterscheidung 

Answer 2

Im Einheitskreis ist r=1. Und für einen Bogen b mit 0<b<2π gilt x=cos(b) sowie y=sin(b).

Comments

Die Bogenlänge einer beliebigen Funktion wird doch so berechnet:

s=Integral von a bis b (1+y'(x)²)^0,5dx

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Ist es möglich, am Einheitskreis in Abhängigkeit von der y-, oder x-Koordinate, cos(phi)*r bzw. sin(phi)*r, die Bogenlänge eines Kreissegmentes zu bestimmen? 

Ich möchte es aber in Abhängigkeit von der x-, bzw. y-Koordinate ausdrücken.

Das war die Frage, und die ist wohl beantwortet.