Die Ebene hast du in Parameterform ( PF ) gegeben. Von deiner Geraden kennst du aber alle drei Koordinaten x , y , z . Läge es da nicht nahe, deine Ebene erst mal in Koordinaten form ( KF ) umzurechnen?
Weißt du zufällig, was eine ===> Determinante ist und wie man sie berechnet? Weil da gibt es längst Online Matrixrechner, die können genau das, was dunhier brauchst: Determinanten mit Buchstaben ausrechnen. Ich vermittle dir zunächst die Idee; die Ebene in PF
E ( r ; s ) = P0 + r u + s v = P | - P0 ( 1 )
P0 ist wie üblich der Anfangspunkt der Ebene; und u und v sind ihre beiden Bsisvektoren. P ist ein zunächst unbestimmter Punkt auf E
P = ( x | y | z ) ( 2 )
In ( 1 ) habe ich auch gleich eine Umformung vermerkt:
r u + s v = P - P0 ( 3 )
Und jetzt mache ich ein kleines Vexierspiel. Den Punkt P tu ich fest nageln mit Uhu oder einer Reißzwecke. Das wird jetzt auf einmal eine Größe, die ich als bekannt erkläre. Dann wird ( 3 ) doch rein formal juristisch zu einem LGS zur Bestimmung der beiden UNBEKANNTEN r und s . Die ===> Koeffizientenmatrix ( KM ) von ( 3 ) hat dann Format 3 X 2 und ===> Rang 2 . Letzteres wegen der beiden Basisvektoren u und v .
Dann ist aber die erweiterte KM QUADRATISCH vom Format 3 X 3 ; ihr Rang muss aber eben Falls 2 sein. Denn wenn diese r und s existieren, dann behaupten wir ja gerade, dass sich die rechte Seite von ( 3 ) schreiben lässt als Linearkombination von u und v .
Die DETERMINANTE der erweiterten KM VERSCHWINDET .
Das Ganze lässt sich auch einfacher sagen; anschaulich bedeutet eine Determinante ein Spatvolumen ===> Spatprodukt .
( Würfel verhält sich zu Quadrat wie Quader zu Rechteck wie Spat zu Parallelogramm. )
Gleichung ( 3 ) besagt effektiv, dass der Vektor ( P - P0 ) in der Ebene E liegt, die von u und v aufgespannt wird; das von den drei Vektoren u , v und ( P - P0 ) erzeugte Volumen verschwindet.
det ( u ; v ; P - P0 ) = 0 ( 4 )
Also: Keine Gleichungen mehr lösen; und du wirst zusätzlich noch online unterstützt. Dein Prof hat ja allein DREI Unbekannte r , s und t . Ich habe nur t , weil die Ebene tu ich mir ja aus der Determinante schnitzen.
Unser Musiklehrer sagte immer; das war die Teorie. Und jetzt kommt die Praxis ( Tschuldigung; was ich oben unbedacht P0 nannte, heißt in der Aufgabe P4 - bitte korrigieren. )
u := P4 - P3 = ( 1 | 4 | - 2 ) ( 5a )
v := P5 - P3 = ( 3 ; 1 ; 3 ) ( 5b )
| 1 3 x - 7 |
det = | 4 1 y - 8 | ( 5c )
| - 2 3 z + 4 |
Hier bei der Mitternachtsformel tust du doch auch nicht mehr umständlich überlegen. Es geht darum, dass du verstehst, wie Tabelle ( 5c ) richtig gefüllt werden muss. Und jetzt die ===> Sarrusregel; das ist sturer Formalismus.
det = [ 4 * 3 - 1 * ( - 2 ) ] ( x - 7 ) + [ 3 * ( - 2 ) - 1 * 3 ] ( y - 8 ) + ( 1 * 1 - 3 * 4 ) ( z + 4 ) = 0 ( 6a )
14 ( x - 7 ) - 9 ( y - 8 ) - 11 ( z + 4 ) = 0 ( 6b )
14 x - 9 y - 11 z = 70 ( 6c )
Na das gibt doch schon ein ordentliches Tafelbild; und Ordnung wird benotet. In ( 6c ) hast du einen zusätzlichen Vorteil, den dein Prof mit seinem Larifari gar nicht hat. Drei Punkte legen eindeutig eine Ebene fest; auf ( 6c ) hast du die Probe, wenn du nacheinander alle drei Punkte einsetzt.
Jetzt die Gerade
P1 = ( 4 ; 1 ; - 7 ) ( 7a )
w = P2 - P1 = ( 1 ; 1 ; - 2 ) ( 7b )
g = ( 4 ; 1 ; - 7 ) + k ( 1 ; 1 ; - 2 ) ( 7c )
x = 4 + k ( 8a )
y = 1 + k ( 8b )
z = - ( 7 + 2 k ) ( 8c )
Beachte insbesondere ( 8a -c ) Ich habe die gerade auseinander gezogen nach x , y und z . Warum wohl? Weil wir ( 8a-c ) einsetzen für x , y und z in ( 6c ) Sooo sieht Ordnung aus mein Lieber.
14 ( k + 4 ) - 9 ( k + 1 ) + 11 ( 2 k + 7 ) = 70 ( 9a )
27 k = - 54 ===> k = ( - 2 ) ( 9b )
Dieses k eingesetzt in ( 7c )
S = ( 2 | - 1 | - 3 ) ( 9c )
Ob S stimmt, weiß ich nicht mehr. Bei deinem Lehrer finde ich auch nirgend s ein Ergebnis, wo ich vergleichen könntete.
