Wenn mindestens ein Faktor gerade ist, ist das Produkt gerade. Und Behauptung zu Quadratzahlen.

Question

Angabe:

Zahlen mit geradem Produkt. Beweisen Sie: Wenn das Produkt zweier ganzer Zahlen
gerade ist, dann ist mindestens eine dieser beiden Zahlen gerade. Erklaren Sie, wie
daraus Aussage (b) aus Beispiel 1. folgt.
Hinweis: Beweisen Sie, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist und
erklaren Sie, warum das eine Losung des Beispiels liefert.

(b) Eine Zahl, deren Quadrat gerade ist, ist selbst gerade.

Mein Vorgang:
Sei n eine gerade Zahl mit n=2k und m eine ungerade Zahl mit m=2l+1. Nun bilden wir daraus das Produkt von m und n und erhalten. m*n=(2k)(2l+1)=2k(2l+1)

stimmt das so?

Comments

Zu b). Vgl. auch https://www.mathelounge.de/8794/wenn-eine-quadratzahl-gerade-ist-dann-ist-auch-die-zahl-gerade

Answer 1

ja das stimmt so. Man kann auch über die eindeutige Primfaktorzerlegung von Zahlen argumentieren. Gerade Zahlen enthalten immer wenigstens einmal die 2 als Primfaktor, ungerade Zahlen hingegen enthalten keine 2 als Primfaktor.

Die Primfaktorzerlegung des Produktes zweier Zahlen entspricht dabei dem Produkt der Primfaktorzerlegungen dieser Zahlen. Das heißt jeder Primfaktor, der in der einen oder der anderen Zahl vorkommt, kommt damit auch im Produkt der beiden Zahlen vor.

Somit kann man argumentieren, ob die 2 als Primfaktor des Produktes zweier Zahlen vorkommt oder nicht. Das Quadrat einer Zahl ist dabei ein spezielles Produkt zweier Zahlen, nämlich zweier gleicher Zahlen.

Ist das Quadrat einer Zahl gerade, so ist 2 wenigstens zweifacher Primfaktor dieses Quadrates und insbesondere auch Primfaktor der Ausgangszahl.

Ist das Quadrat einer Zahl ungerade, so ist 2 kein Primfaktor dieses Quadrates und somit auch kein Primfaktor der Ausgangszahl.

MfG

Mister

Answer 2

Sei n eine gerade Zahl mit n=2k und m eine ungerade Zahl mit m=2l+1. Nun bilden wir daraus das Produkt von m und n und erhalten. m*n=(2k)(2l+1)=2k(2l+1)

Damit hast du gezeigt: Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Zahl ist gerade, also:

m gerade und n ungerade => m * n gerade

Du solltest aber zeigen: Wenn das Produkt zweier Zahlen gerade ist, dann ist mindestens eine dieser Zahlen gerade, also:

m * n gerade => m gerade oder n gerade

Das kann man durch einen Widerspruchsbeweis zeigen:

Voraussetzung: m * n ist gerade

Behauptung: Dann ist m oder n gerade

Annahme: m und n seien beide ungerade (logische Negation von m m oder n gerade). Daraus folgt für das Produkt m * n: 

m * n = ( 2 r + 1 ) * ( 2 s + 1 ) = 4 r s + 2 ( r + s ) + 1 = 2 * ( 2 r s + r + 2 ) + 1

Die Zahl 2 * ( 2 r s + r + 2 ) + 1 aber (und damit auch das Produkt m * n ) ist ungerade. Das aber ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Daher ist die Annahme: "m und n sind beide ungerade" unter dieser Voraussetzung, falsch. Es muss daher die Negation dieser Annahme gelten und das ist die Behauptung.

 

Dieser Beweis enthält den in der Aufgabenstellung unter "Hinweis:" geforderten Beweis, nämlich, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen immer ungerade ist. Es gibt also keine zwei ungeraden Zahlen, deren Produkt gerade ist. Folglich muss, wenn das Produkt zweier Zahlen gerade ist, mindestens eine dieser Zahlen gerade sein.

Und daraus ergibt sich auch: Wenn das Produkt einer Zahl a mit sich selbst, also das Quadrat der Zahl a, gerade ist, dann muss die Zahl selbst gerade sein, denn nach dem bisher Gezeigten gilt:

a ² = a * a gerade => a oder a ist gerade 

und da beide Zahlen gleich sind, muss also a gerade sein.