Prädikatenlogik: Wandle „Keine gerade Zahl ist eine Primzahl, außer 2.“ in eine prädikatenlogische Formel um.

Question

Ich stelle mir derzeit die Frage, ob mein Ansatz zur Aufstellung folgender prädikatenlogischer Formel korrekt ist.

Aufgabe.

Für ℕ sei gegeben:

x ist eine Primzahl, falls p(x)

x ist gerade, falls g(x)

x ist gleich 2, falls z(x)

Wandle „Keine gerade Zahl ist eine Primzahl, außer 2.“ in eine prädikatenlogische Formel um.

Meine Überlegung:

$$ \neg \exists \neg g ( x ) ∈ \mathbb { N } \wedge z ( x ) ∈ \mathbb { N } : p ( x ) $$

Answer 1

Ich würde eher so meinen:

In Worten: Für alle geraden Primzahlen gilt: Es ist die 2.

Also  ∀ x∈ℕ ( g(x) ∧ p(x) ) ⇒  z(x) 

Comments

Hm, die Formel sieht mir auch logisch aus, wäre das denn äquivalent zur Aussage:      Keine gerade Zahl außer die 2 ist eine Primzahl?

Also müsste ich zur Umwandlung nicht zwangsweise die daraus folgenden Eigenschaften für alle geraden Zahlen außer die 2 bezüglich einer Primzahl angeben, sondern kann die Aussage auch für die 2 treffen, so dass beides äquivalent ist?

Eventuell habe ich das tiefere Verständnis noch nicht erlangt.

Danke dir

Answer 2

(1) P(x) -> x Primzahl      (2)  g(x) -> x gerade    (3)  z(x) -> x= 2

Dies ist jeweils äquivalent zu:

(4) ¬  Primzahl -> ¬p(x)   (5)  x ungerade -> ¬g(x)    (6)  x ungleich 2 -> ¬z(x)

Aussage: Falls x Primzahl, dann (x ungerade oder x=2) d.h.

                 Primzahl -> (x ungerade v x=2), dies ist äquivalent zu

                  ¬  Primzahl  v   (x ungerade  v  x=2) , äquivalent zu

Aus (4),(5),(6) folgt:   ¬p(x)    v   ¬g(x)  v     ¬ (x ungleich 2), somit

                                     ¬p(x)    v  ¬g(x)  v    ¬ (¬ z(x)), somit

                     Ergebnis:               ¬p(x)    v  ¬g(x)  v   z(x)