Extremwertaufgaben (mit dem pythagoräischem Lehrsatz)

Question

Welches gleichschenkelige Dreieck vom Umfang u=2s ergibt bei Drehung um seine Symmetrieachse einen Kegel von maximalem Volumen?

Meine Ideen: Kegel mit Höhe h, Radius x und Seitenkantenlänge y

Zielfunktion: Volumen_Kegel: x²* π*h*(1/3)

Nebenbedingung: y= √[h²+x²]  --> √[h²+x²] + x=s

Wie geht es weiter? Bitte keine Wurzelausdrücke in die Zielfunktion einsetzen.

Comments

$$U= 2s +2r$$Umfang des gleichschenkligen Dreiecks soll konstant sein?

$$ V= \frac 13 \pi r^2 h $$
$$ s^2= r^2+h^2$$

---

Wie kommst du auf  r = 0  ?

---

Ich interpretiere s als Schenkellänge.

U=2s ist sinnfrei - daher auch die Anbringung des Fragezeichens.

Zum Glück ist keine Skizze vom Fragesteller geliefert und die Bezeichnungen weichen von der Konvention ab.

Also ab an die Kristallkugelbesitzer mit der Aufgabe !

---

Ich interpretiere s als Schenkellänge.

Das solltest du besser nicht tun - wo s doch der halbe Umfang ist.

---

Wenn die Aufgabe richtig abgeschrieben wurde ...

---

Jetzt benutzt du die Kristallkugel.

---

Hallo miriampichler1,

Welches gleichschenkelige Dreieck vom Umfang u=2s ergibt bei Drehung um seine Symmetrieachse einen Kegel von maximalem Volumen?

Stand das so in der Aufgabenstellung ?

Was ist s ?

Falls u = constant gibt es verschiedene
Dreiecke mit r und h von denen eins
ein maximales Volumen haben wird.

Was ist s ?

---

In der Aufgabenstellung war leider auch keine Skizze.

s ist der halbe Umfang.

Umfang ist konstant

Answer 1

Nebenbedingung
U = 2·√(r^2 + h^2) + 2·r
s = √(r^2 + h^2) + r --> r = (s^2 - h^2)/(2·s)

Hauptbedingung
V = 1/3·pi·r^2·h
V = 1/3·pi·((s^2 - h^2)/(2·s))^2·h = pi/(12·s^2)·(h^5 - 2·h^3·s^2 + h·s^4)
V' = pi/(12·s^2)·(5·h^4 - 6·h^2·s^2 + s^4) = 0 --> h = 1/√5·s = 0.4472·s
r = (s^2 - (1/√5·s)^2)/(2·s) = 0.4·s

Answer 2

         Hauptbedingung

     V  (  r  ;  h  )  :=  r  ²  h  =  max          (  1a  )

    erste Nebenbedingung; Pythagoras

    P  (  a  ;  r  ;  h  )  :=  r  ²  +  h  ²  -  a  ²  =  0        (  1b  )

     zweite Nebenbedingung; der Umfang

       U  (  a  ;  r  )  :=  a  +  r  =  const  =  k        (  1c  )

    Der Lagrangeparameter von ( 1b ) sei k1 und derjenige von ( 1c ) gleich k2. Wir bilden die Linearkombination

  H  (  a  ;  r  ;  h  )  :=  V  (  r  ;  h  )  +  k1  P  (  a  ;  r  ;  h  )  +  k2  U  (  a  ;  r  )     (  2  )

   Notwendige Bedingung für Maximum; der Gradient von H verschwindet.

    H_h  =  r  ²  +  2  k1  h  =  0  ===>  k1  =  -  r  ²  /  2  h        (  3a  )

    H_a  =  k2  -  2  k1  a  =  0  ===>  k2  =  -  a  r  ²  /  h     (  3b  )

   H_r  =  2  r  h  +  2  k1  r  +  k2  =  2  r  h  -  r  ³  /  h  -  a  r  ²  /  h  =  0      (  3c  )

              2  h  ²  -  r  ²  -  a  r  =  0      (  4a  )

    Hier empfiehlt es sich, die Konstante k aus ( 1c ) einzusetzen.

            2  h  ²  =  r  ²  +  k  r        (  4b  )

Comments

  Tschuldigung; jetzt hab ichs doch faslsch.  ( 4b  ) muss richtig heißen

    2  h  ²  =  k  r   ;  k / r  =  2  tg  ²  (  ß  )  

---

  Tschuldigung; jetzt hab ichs doch faslsch.  ( 4b  ) muss richtig heißen

    2  h  ²  =  k  r   ;  k / r  =  2  tg  ²  (  ß  )  

    Nochn Gedicht; ich hab dochb gleich gewusst, dass das nur über den Winkel geht

    2  h  ²  -  r  ²  -  a  r  =  0    |  :  a  ²     (  4a;2.1a  )

    2  cos  ²  (  ß  )  -  sin  ²  (  ß  )  -  sin  (  ß  )  =  0     (  2.1b  )

    Wir substituieren

       z  :=     sin  (  ß  )      (  2.2a  )

        a2  z  ²  +  a1  z  +  a0  =  0      (  2.2b  )

              a2  =  3  ;  a1  =  1  ;  a0  =  (  -  2  )         (  2.2c  )

   Aus dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )  habe ich eine pq - Zerlegungsformel abgeleitet. Die Gleichung muss primitiv sein so wie ( 2.2bc ) , ihre Wurzeln seien

      z1;2  =:  p1;2  /  q1;2  €  |Q       (  2.3a  )

      so wie üblich in gekürzter Darstellung. Dann gelten die beiden pq Zerlegungsformeln

         p1  p2  =  a0  =  (  -  2  )     (  2.3b  )

        q1  q2  =  a2  =  3      (  2.3c  )

    Ja da bleiben wohl nicht mehr viel Möglichkeiten; hinreichende Bedingung - überlebenswichtig in  jeder Klausur - ist immer Vieta p ; Normalform von ( 2.2bc )

        z  ²  -  p  z  +  q  =  0    (  2.4a  )

      p  =  (  -  1/3  )  ;  q  =  (  -  2/3  )    (  2.4b  )

     Auf welche Seite schlagen wir denn die 2 ? Zu den Ganzen oder den Dritteln?

       |  z1  |  =  2/3  :  |  z2  |  =  1  ;  |  p  |  =  1/3      (  2.5a  )   ;     ok

    |  z1  |  =  1/3  :  |  z2  |  =  2  ;  |  p  |  =  5/3         (  2.5b  ) 

    Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen; da p negativ ist in ( 2.4b ) muss die positive -wurzel die betragskleinere sein:

      sin  (  ß  )  =  2/3         (  2.6  )

Answer 3

Für die Berechnung ist die Differentialrechnung
vonnöten. ( 1.Ableitung )

Wie geht es weiter? Bitte keine Wurzelausdrücke in die
Zielfunktion einsetzen.

Hinweis :
( √ term ) ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term )
Die Formel verliert ihren Schrecken falls nur
ein Extremwert gesucht wird.
( term ´ ) / ( 2 * √ term ) = 0
Ein Bruch ist dann null wenn der Zähler null ist.
term ´ = 0
Das heißt : zur Ermittlung eines Extremwerts genügt
die Ableitung des Terms in der Wurzel

Ansonsten ist die Aufgabe : Ermittlung des
Maximalvolumens und der Maße eines Kegles
in Abhängigkeit von s.
r von s und h von s.

Nun die 1.Ableitung bilden und zu null setzen.
Für einen Extremwert gilt

Bei Bedarf nachfragen bis alle Klarheiten
beseitigt sind ( kleiner Scherz ).

Answer 4

"Bitte keine Wurzelausdrücke in die Zielfunktion einsetzen." Mit Lagrange-Multiplikator und ganz ohne Wurzel:

$$\text{HB:} \quad V(r,h) = \frac13 h \cdot \pi \cdot r^2$$ $$\text{NB:} \quad (r-s)^2 = r^2 + h^2 \quad \Rightarrow h^2 + 2rs - s^2 = 0$$ $$\Rightarrow L(r,h,\lambda)= \frac13 h \cdot \pi \cdot r^2 + \lambda(h^2 + 2rs - s^2 )$$ $$\frac{\delta L}{ \delta r} = \frac23h \cdot \pi \cdot r + 2 \lambda \cdot s = 0 \quad \Rightarrow \lambda = \frac{-h\pi r}{3s}$$ $$\frac{\delta L}{\delta h} = \frac13 \pi \cdot r^2 + 2\lambda \cdot h = 0 $$ $$\Rightarrow  \frac13 \pi \cdot r^2 = 2 \frac{h\pi r}{3s} \cdot h \quad \Rightarrow h^2 = \frac12 rs$$ nach Einsetzen von \(h^2\) in die Nebenbedingung $$\frac12 rs + 2rs - s^2 = 0 \quad \Rightarrow r=\frac25 s$$