Reihe mit 2. Bin Formel im Nenner

Question

 

bin eigentlich recht fit im Thema Reihen Konvergenz, aber bei der folgenden komme ich nicht weiter.

Ich bin schon so weit, dass diese Konvergiert nach Majorantenkriterieum.

Aber weiß nicht welche Majorante ich wählen soll oder wie man strukturiert sich eine herleitet.

Danke

Comments

Sollst du schlicht die Reihe auf Konvergenz untersuchen oder was genau ist die Fragestellung?

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Ja genau, Grenzwert war egal

Answer 1

Die Reihe konvergiert sogar absolut, wenn keiner der ersten paar Summanden im Nenner eine 0 hat.

Kürzen, wie Roland vorschlägt. Mit a/k^2 kann man eine konvergente Majorante basteln. (Ungleichung muss ja nur für grössere Summanden erfüllt sein). 

Analog zu https://www.mathelounge.de/446346/zeige-die-kovergenz-divergenz-folgender-reihe-summe-von-1-n

wenn keiner der ersten paar Summanden im Nenner eine 0 hat.

7/(1-4+1) = 7/(-2)  ≠ 0

2*7/(8 - 16 + 2) = ... ≠ 0

3*7/(.....) ≠ 0

usw. 

Gefahr besteht wohl nicht. 

Comments

Also mit 1/k² oder 2/k² funktioniert es ja nicht. Also könnte ich mir im Prinzip 50/k² nehmen womit es aufjedenfall funktioniert und dann ist man schon fertig?

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Ja. Kann man. 

Pass auf die Vorzeichen auf 

Nimm von Anfang an den Betrag der Summanden,

schätze sie nach oben ab. 

Die ersten paar (vielleicht die ersten 5 oder so viele  wie dir nicht gefallen in deiner Abschätzung) Summanden kannst du einfach ignorieren in der Abschätzung.

Schreibe dann z.B.:

∑ |an| ≤ |a_1| + |a_2| + ....|a_5| + ∑_(6)^{unendlich} 50/n^2

Answer 2

Zunächst einmal kann man k herauskürzen; Σ(7/(k²-4k+1). Aber auch dann steht nicht die 2. bin. Formel im Nenner. Bist du denn ganz sicher, dass die Reihe konvergiert? Ich vermute, sie divergiert.

Comments

Woher kommt diese Vermutung?

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also das die konvergiert steht in den Lösungen nur mir fehlte die Rechnung und Begründung

Answer 3

Vielleicht kann man es so machen:

$$ \sum_{k=1}^{\infty}{\dfrac{7k}{k^3-4k^2+k}} = \dots \le 7\cdot\sum_{k=1}^{\infty}{\dfrac{1}{\left(k-1\right)^2}}  $$

Comments

Die Reihe rechts des Ungleichheitszeichens ist nicht definiert.

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Da hast du recht, dieser Mangel muss noch behoben werden.

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Inzwischen habe ich aber ohnehin Zweifel an meiner Idee und denke lieber noch einmal darüber nach.