Approximation Exponentialfunktion

Question

Übung 1 

Betrachtet man die Gluckenkurve f(x)=e^-x^2 für -1/Wurzel 2 < x < 1/ Wurzel 2 . Diese soll durch eine quadratische Parabel g approximiert werden, deren Graph durch das Maximum und die beiden Wendepunkte von f verläuft .

a) Wie lautet die Gleichung der Approximationsparabel ? 

b) Wie groß ist die Differenz der Funktionswerte von g und f auf dem approximationsintervall ( -1/Wurzel 2; 1/ Wurzel 2 ) höchstens ? 

Übung 2 

Man kann beweisen , dass sie Glockenkurve f(x) =e^-2x keine explizite, geschlossen darstellbare stammfunktion besitzt , sodass Flächenberechnungen nur näherungsweise möglich sind . Verwenden Sie die näherungsparabel aus Übung 1 als Ersatz für die glockenkurve , um die folgenden Flächeninhalte angenähert zu bestimmen .

a)  Inhalt der Fläche zwischen glockenkurve und x-Achse über dem Intervall ( -1/Wurzel 2; 1/Wurzel 2 , 

b) Inhalt der Fläche zwischen der glockenkurve und h(x) =e^-x

Ich verstehe beide Aufgaben leider nicht :( Es wäre sehr nett , wenn jemand mir helfen könnte .  

:) 

Comments

Welchen Satz der Aufgabenstellung vestehst du denn nicht?

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Ich weiß gar nicht wie ich überhaupt anfangen soll . Ein Ansatz wäre gut :)

Answer 1

f ( x ) = e hoch (-x^2)
1.Ableitung
2.Ableitung

max = ( 0 | 1 )
W1 = ( 0.707 | 0.607 )
W2 = ( - 0.707 | 0.607 )

Die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse

g ( x ) = a*x^2 + c
g ( 0 ) = a * 0^2 + c = 1  => c = 1
g ( x ) = a*x^2 + 1
g ( 0.707 ) = a * 0.707^2 + 1 = 0.607
a = -0.786

g ( x ) = -0.786 * x^2 + 1

ich hoffe dies hilft dir schon einmal weiter

blau Glockenkurve
rot Parabel

Comments

Ja es hat mir weitergeholfen Vielen Dank :) 

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Bei Bedarf noch nachfragen.

Answer 2

> durch eine quadratische Parabel g approximiert werden

g(x) = ax² + bx + c.

Es müssen geeignete a, b und c gefunden werden.

> deren Graph durch das Maximum und die beiden Wendepunkte von f verläuft

Bestimme Hochpunkt und Wendepunkte von f. Dann hast du drei Punkte. Setze in obige Gleichung ein, dann hast du drei Gleichungen. Löse das Gleichungssystem .

> Differenz der Funktionswerte von g und f ...

Die Differenz ist d(x) = f(x) - g(x).

> ... auf dem approximationsintervall ( -1/Wurzel 2; 1/ Wurzel 2 ) höchstens

Bestimme die Extrempunkte von d.

Answer 3

a) Wie lautet die Gleichung der Approximationsparabel ?

Du sollst eine Parabel durch 3 Punkte aufstellen.

Berechne dazu von der Glockenkurve zunächst den Hochpunkt und die beiden Wendepunkte.

Die Parabel lautet

p(x) = (2·e^{- 1/2} - 2)·x^2 + 1 = 1 - 0.7869386805·x^2