Grenzwert einer halbwegs komplexen Aufgabe. Grenzwertsätze.

Question

ich habe folgende Folge 

Das ist die Lösung.

Jedoch habe ich das anders gelöst und zwar zuerst das innere und bin insgesamt auf (1)^-1 = 1 gekommen, was falsch ist.

Habe unterm Bruchstrich den Term (1/2n) als Nullfolge betrachtet und am Ende potenziert.

Ich wäre nie auf das oben gekommen. Gibt es da irgendwas zu beachten?

Answer 1

Hallo du kannst nicht bei $$(a(n))^{b(n)}$$ den GW einzeln für a(n) oder b(n) machen,

spätestens nachdem du ja  den GW von $$(1+1/n)^n=e$$ kennst obwohl 1+1/n natürlich gegen 1 konvergiert.

Gruß lul

Comments

Danke für deine Antwort.

Wie sollte ich den bei solchen Aufgaben (a(n))^b(n) da am besten ran gehen?

Was sollte man da zuerst lösen? Gibt es einen Satz, dass solche Fälle behandelt? 

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Nein, eine Regel gibt es nicht, aber oft hängt es mit der e-funktion zusammen  eben e^x ist GW von (1+x/n)^n

manchmal lohnt es seich auch den Gw des log zu bilden.

Gruß lul

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@lul:

Die Funktion $$(x,y)\mapsto x^y=e^{y\log x}$$ ist in der rechten Halbebene (also für \(x>0\)) stetig. Es gilt also sehr wohl $$x_n\to x>0\,\,\,\text{und}\,\,\,y_n\to y\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, x_n^{y_n}\to x^y.$$

Answer 2

Jedoch habe ich das anders gelöst und zwar zuerst das innere und bin insgesamt auf (1)^-1 = 1 gekommen, was falsch ist.

Ja, das ist verkehrt. Im Grenzwertprozess strebt das in der Klammer gegen 1 und der Exponent gegen ∞ .

1^∞ ist aber in Grenzwerten nicht gleich 1 ,sondern erstmal gar nicht definiert, weil Basis und Exponent gleichzeitig sich ändern. Da kann also prinzipiell sonstwas rauskommen.

Die Definition der Exponentialfunktion als Grenzwert ist sehr wichtig, die sollte man im Kopf haben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition

Comments

Erstmal danke euch beiden für eure Zeit.

Wie gehe ich den bei solchen Aufgaben an sich ran? 

Weil man sieht es nicht von Anfang an, dass man die Exp. Funktion daraus ableiten kann. Auch an sich, die Potenz in die Klammer zu ziehen, ist mir auch nicht direkt in den Sinn gekommen.

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Ja, das Problem ist, dass man es sehen muss, sonst kommt man ja nicht auf die Umformungen. Im Grunde hilft da nur üben, solange bis du solche Fälle erkennst. Schau dir am besten dazu noch ein paar  Beispiele an, wo die e-Funktion als Ergebnis rauskommt, dann klappt das auch. 

in der Aufgabe wurde geschickt überall  2n geschrieben. 

Ich lös das meistens, indem ich 

2n=:k setze, um Platz zu sparen.

Dann hat man in der Basis

k/(k+1)=(k+1-1)/(k+1)=1-1/k

und im Exponenten 4k-1

Die Potenz ^{-1} stört nicht, da 

der Faktor (1-1/k)^{-1} gegen 1 strebt,

dann bleibt der Faktor (1-1/k)^{4k}

=[(1-1/k)^{k}]^4---> e^{-1} ^4