Maximum zweier Zufallsvariablen

Question

ich komme bei einer Aufgabe in der stochastik einfach nicht weiter. Ich hoffe hier kann mir jemand helfen.

Gegeben ist X, Y als unabhängige Zufallsvariable, sowie \( F^{X}, F^{Y}\) als deren Verteilungsfunktion. Z soll das maximum der beiden Zufallsvariablen sein: Z=max{X, Y}.

In Aufgabenteil a soll nun \(P(X \leq x)\) und \(P(Y \leq y)\) mit den Verteilungsfunktionen angegeben werden.  \(P(X \leq x) \) ist doch schon aber \(F^{X}\). Meint ihr es soll nur nochmal aufgeschrieben werden?

b) "Geben Sie die Verteilungsfunktion \(F^{Z}\) von Z in Abhängigkeit von F^X und F^Z an. "

Wie kann ich hier vorgehen?

Mein Ansatz bisher:

\(F^Z =P(Z \leq z)= P(Z \leq \max\{X, Y\}) = P\left(F^X(z) \cap F^Y(z)\right) \overset{\text{unabh.}}{=}F^X(z) \cap F^Y(z)\)

Ich habe das Gefühl dass ich es falsch mache.

Gruß Long

Offtopic: Wie kann ich einzelne Latex abschnitte in den Text einbauen, ohne Zeilenumbrüche?

Comments

Verwende

\(

und

\)

anstatt

$$ und $$

.

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Oh danke. Werde es beim nächsten Mal machen. Formatierung ist so ziemlich anstrengend zu lesen.

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Ich hab das geändert.

Answer 1

F^Z(x) = P(Z ≤ x) = P(X≤x ∧ Y ≤x) = P(X≤x) · P(Y≤x) = F^X(x) · F^Y(x).

Dabei gilt P(X≤x ∧ Y ≤x) = P(X≤x) · P(Y≤x) wegen Unabhängigkeit.

Comments

Das sieht mir doch sehr viel richtiger aus als meine Lösung! Habs es irgendwie unnötig kompliziert gemacht!

Gruß Long

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Insbesondere solltest du mehr auf die Notation achten.

X, Y und Z sind Zufallsvariablen.

Per Defintion ist Z = max{X, Y}. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass

        Z ≤ max{X, Y}

ist, ist 1 (wie soll denn auch Z > max{X, Y} sein, wenn per Definition Z = max{X, Y} ist?).

F^X ist eine Funktion von den reellen Zahlen in das Intervall [0,1]. Das heißt, F^X(z) ist eine reelle Zahl aus dem Intervall [0,1]. Gleiches gilt für F^Y(z). Dann ergibt aber der Audruck  F^X(z)∩F^Y(z) keinen Sinn, P(F^X(z)∩F^Y(z)) noch viel weniger.

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Es wäre auch nicht schlecht, wenn du meine Aussage

        P(Z ≤ x) = P(X≤x ∧ Y ≤x) 

mittels der formalen Definition von Zufallsvariablen beweisen könntest.