Flächeninhalt und y-Koordinate des Schwerpunktes

Question

kann mir jemand sagen wie ich die Fläche ausrechne?

da die Grenzen ja nach y abgesteckt sind, einfach nach x umstellen und dann integrieren?

komme da zwar auf ein logischen Flächeninhalt aber mein y Schwerpunkt ist dann 3,8 was nicht mal mehr

in der Fläche liegt oder gehe ich da falsch an die aufgabe ran?

Ist dann bei der Trapezregel das Endergebnis also der Integralwert mein Schwerpunkt?

Vielen Dank

Answer 1

Das sieht ja so aus: (ich hab mal nach y umgestellt.)

~plot~ 3/(x-6);1;3;x=1;[[0|10|0|5]] ~plot~

Dann hast du doch das Rechteck und das letzte Stück

bekommst du durch 

Integral von 7 bis 9 über 3 / (x-6) dx da bekomme ich 3*ln(3) ≈ 3,3  

Also Gesamtfläche 2*6 + 3,3 = 15,3

Comments

ah ok habe nach x umgestellt und mit den Grenzen 1 und 3 gerechnet.

So wie du das gemacht hast hatte ich es vorher aber immer vergessen einfach das Rechteck zu addieren -.-

Wenn ich mit der Trapezregel in 0,5 Schritten rechne komme ich auf Ergebnis wie 18,8.

rechne y0 -> y5 aus und setzte für i= 1...5 ein. oder gehe ich dort auch in 0,5 schritten (n=4) ?

wenn ich es in 1er Schritten ausrechne dh n=2 dann komme ich auf 15,5... 

Danke

---

Denke das 18,8 nicht nah genug an 15,3 ist oder? das wäre ja nicht mal nahrungsweise der Schwerpunkt in x

Answer 2

  Ich würds auch so machen - erst mal nach x intgrieren.  Für y = 1 ergibt sich als Grenze x = 9 und für y = 3 x = 7  Nach x umgestellt lautet die Hyperbel

       x  =  3  (  2  +  1 / y )     (  1  )

      Der Flächeninhalt

                      3        3 ( 2 + 1/y )

    F  =            $               $                     dx dy      =      (  2a  )

                     1                0

                     3

          =    3   $    (  2  +  1 / y )  dy  =  3  [  4  +  ln  (  3  )  ]  =  15.30     (  2b  )

                      1

     Die y-Koordinate mit dem Moment  m  ( y )

                                 3               3 ( 2 + 1/y )

    m  (  y  )  =            $      y              $                    dx dy      =      (  3a  )

                                 1                      0

                    3

          =    3  $    (  2  y  +  1  )  dy  =  3  (  8  +  2  )  =  30    (  3b  )

                     1

      und damit der Schwerpunkt     (  3b  )  :  (  2b  )

          y  (  sch  )  =  30 /  15.30  =  1.961        (  4  )

     Liegt eigentlich schön in der Mitte.

                         3            3 ( 2 + 1/y )
   m  (  x  )  =    $                     $              x      dx dy      =         (  5a  )
                        1                     0

                       3

          =    9/2  $    (  2  +  1 / y )   ²   dy          (  5b  )    

                       1

         Nebenrechnung; Terme   T1;2;3

         T1  =  ( 9/2 )  *  4  *  2  =  4  *  9  =  36          (  6a  )

         T2  =  ( 9/2 )  *  4  ln  (  3  )  =  18  ln  (  3  )  =     19.77         (  6b  )

          T3  =  ( 9/2 )  *  ( 2/3 )  =  ( 9/3 )  *  ( 2/2 )  =  3        (  6c  )

      m  (  x  )  =  58.77       (  7a  )

        x  (  sch  )  =  ( 7a ) / ( 2b )  =  3.841      (  7b  )

      Eigentlich auch in der goldenen Mitte.