Beweis: Vektorprodukt gleich Fläche von Parallelogramm?!

Question

Ich komme bei meinem Beweis nicht weiter.
Kann jemand verständlich den Beweis zeigen, dass der Betrag des Vektorprodukts der Flächeninhalt des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms ist?!
 

Answer 1

Geometrisch ist das Kreuzprodukt so definiert. Vgl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

| a x b | = |sin θ|* |a|*|b|

In der Skizze auf Wikipedia ist die Höhe |b|*|sin θ | bereits eingezeichnet.

Beachte: Die Länge des resultierenden Vektors entspricht der aufgespannten Fläche.

Das Vektorprodukt liefert einen Vektor keine Fläche.

Comments

A= |a ⃗ |∙|b ⃗ | √(1-〖cos〗^2 (φ) )
=  √((|a ⃗ |∙|b ⃗ | )^2- (|a ⃗ |∙|b ⃗ | )^2 〖cos〗^2  (φ) )

und wie kommt dieser Schritt zustande?

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1 - cos^2 A = sin^2 A ist Pythagoras.

 √(1-〖cos〗² (φ) ) = | sin^2 (φ) |

Das hier ist noch ok: |a ⃗ |∙|b ⃗ | =  √((|a ⃗ |∙|b ⃗ | )²

Nun kann man den Faktor unte die Wurzel nehmen.

  √((|a ⃗ |∙|b ⃗ | )² * (1 -〖cos〗²  (φ) ))

Und jetzt unter der Wurzel noch ausmultiplizeren nach dem Prinzip x(y-z) = xy -xz.

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Sagt mal, ist es Euer ernst, dass Ihr mit einer Definition antwortet, wenn man Euch nach einem Beweis fragt?

Dass es so ist, ist doch bekannt... manchmal sind mir MAthematiker echt suspekt...

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Gast: Wenn du einen Beweis für eine Aussage haben möchtest, musst du immer zuerst die Definition der Begriffe in der Aussage kennen. Und der Beweis sollte dann auf den Definitionen (oder daraus folgenden und bereits bewiesenen Gesetzen) aufbauen.

Manchmal wird dann einfach eine Trivialität behauptet.