Messpunkte rechnen Normalengleichungen für überbestimmte Lineare Gleichungssysteme

Question

Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe

4. Bestimmen Sie für die \(5\) Messpunkte

\(\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&-1&0&1&2&3\\\hline y&0.3&0.5&0.9&1.1&1.5\\\hline\end{array}\)

die Koeffizienten \(a_0, a_1\) der Ausgleichsgeraden \(p(x)=a_0+a_1 x\) mit Hilfe der Normalengleichungen für überbestimmte lineare Gleichungssysteme.

Vielen Dank

Answer 1

Meinst Du

\(X \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&1&1&1&1\\-1&0&1&2&3\\\end{array}\right)\)

\(XX^T \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}5&5\\5&15\\\end{array}\right)\)

\(XY^T \, :=  \, \left(\begin{array}{r}4.3\\7.3\\\end{array}\right)\)

\(  \left(\begin{array}{rr}5&5\\5&15\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}a_0\\a_1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{43}{10}\\\frac{73}{10}\\\end{array}\right)  \)

Comments

Wie bist du auf diese Lösung gekommen, könntest du es ausführlicher schreiben wie man auf was gekommen ist. Ich kann die erste X reihe nicht herleiten wo die Zahlen herkommen.

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Du wirst doch ein Skript haben?

http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws05_06/statistik2old/skript/node21.html

das war auch noch im Ordner

http://institute.unileoben.ac.at/amat/lehrbetrieb/num/vl-skript/sli07s08.pdf

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Ich verstehe die komplette Obere Rechnung nicht wie du das ausgerechnet hast eine das Skript habe ich leider nicht mehr dazu

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Dann ist es ja gut, dass ich Dir ein paar Verweise zum Nachlesen gegeben habe....

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Also ich habe mir die Verweise umd Theoreme angeschaut aber lässt sich nicht schließen

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Wie muss man das nun machen bitte ?

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Ich weiss nicht, was man machen soll.

Mit ist nur aufgefallen, dass eine Normalengleichung 

aus den X und Y Koordinaten im Matrizenschreibweise (siehe oben)

zur Berechnung einer Regression aufgestellt werden kann. Herleitung siehe Skripten.

Ob das Deine Aufgabenstellung löst entzieht sich meiner Kenntnis. Das uniloeben-Skript behandelt beide Themen - Regression und Normalengleichung und überbestimmte GLS.

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Kann mir bitte jemand helfen, wie die Aufgabe zu lösen ist ?  

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Kann mir bitte jemand helfen, wie die Aufgabe zu lösen ist.

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Ich würde Dir ja gerne helfen, aber nachdem von Dir nix weiter kommt ist es echt schwierig. Ich sehe min. 3 unerschiedliche Wege die Aufgabe zu erschlagen - einer steht oben. Wenn ich das unileoben-Skript heranziehe Folie 2,3,4 wird eine Normalengleichung abgeleitet. Du suchst eine Gerade durch X und Y:

\(f(x) \, :=  \, m \; x + b  \)

da die X,Y einsesetzt

\(R \,:=  \,  \left\{ -m + b = \frac{3}{10}, b = \frac{1}{2}, m + b = \frac{9}{10}, m \cdot 2 + b = \frac{11}{10}, m \cdot 3 + b = \frac{3}{2} \right\} \)

das als Matrix geschrieben A x = b_a, x= (m,b)

\(A \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}-1&1\\0&1\\1&1\\2&1\\3&1\\\end{array}\right) \) , \(b_a \, :=  \,  \left( \frac{3}{10}, \frac{1}{2}, \frac{9}{10}, \frac{11}{10}, \frac{3}{2} \right) \)

Das führt auf die Normalengleichung (*)

\(A^{T} \; A \; x = A^{T} \; b_a\)

So viel zu

"ich habe mir die Verweise umd Theoreme angeschaut aber lässt sich nicht schließen"

Ob das jetzt in Deine Lösung passt kann ich wieder nicht sagen - passt aber zu meinen Ausführungen oben. (*) Um die Normalengleichung zu begründen müssten jetzt aus R die Fehlerquadrate gebildet und das Minimum  R'(m,b) d m =0  ∧ R'(m,b) d b =0 gesucht werden (Folie 4) .

Lass mal hören, ob das jetzt weiterhilft?

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Das mit den Theorenen habe ich gemeint könnte stimmen also ich habe keine Idee wie ich anfangen sollte also die Herleitung zur Formel.

Wenn es drei verschiedene Varianten gibt zum Lösen dieser Aufgabe dann schreib sie mal bitte auf dann frage ich meinen Lehrer welches richtig ist.

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Wie sind man auf die Zahlen gekommen in der Matrix A

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Also woher hast du es mit den 1 er genommen

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Wenn es drei verschiedene Varianten gibt zum Lösen dieser Aufgabe dann schreib sie mal bitte auf dann frage ich meinen Lehrer welches richtig ist.

Nö, genau das mach ich nicht. Frag doch Deinen Lehrer.

Wie sind man auf die Zahlen gekommen in der Matrix A

Man sind die Koeffizienten der Gleichungen aus R untereinander aufgeschrieben 

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Wie ist die Gleichung nun fertig ?

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Gleichungen treffen Aussagen die wahr oder falsch sein können, "fertig" ist keine mathematisch interpretierbare Fragestellung...

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Ich habe alles verstanden wie muss man die Aufgabe fertig lösen

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Es hilft mit deinen Lösungen

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Hallo Wächter,

Wie berechne ich die Koeffizienten a0,a1 der Ausgleichsgeraden p(x)= a0+a1x mit Hilfe der Normalgleichungen ?

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Wie berechne ich die Koeffizienten a0,a1 der Ausgleichsgeraden p(x)= a0+a1x mit Hilfe der Normalgleichungen ?

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"Wie berechne ich die Koeffizienten a0,a1 der Ausgleichsgeraden p(x)= a0+a1x mit Hilfe der Normalgleichungen ?" indem Du die Normalengleichung löst - wo genau hast Du dabei ein Problem?

In der Gleichung \(A^{T} \; A \; x = A^{T} \; b_a\) ist \(x = (a_0; a_1)^T\). wächter hat das in seiner Antwort bereits vorbereitet. Dort ist das \(X=A^T\) und das \(Y = b_a^T\).

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Also p(x)= -1+3/10 für das erste.

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$$-1+ \frac{3}{10} = -\frac{7}{10} = -0,7 \ne p(x) $$

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Muss man das für alle dann machen

-1+3/10=-7/10=-0,7= nicht p(x)

0+1/2=1/2 =0,5= nicht p(x)

1+9/10=19/10=1,9 nicht p(x)

Ich konnte leider auf das Gleichheitszeichen nicht diesen senkrechten Strich machen.

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Oh - das hast Du anscheinen ganz falsch verstanden. Du schriebst: "p(x)= -1+3/10 " und ich schrieb darauf hin "\(p(x) \ne -1+3/10\)" und wollte damit sagen, dass das, was Du vorher geschrieben hast, falsch ist.

Wie kommst Du darauf dass das die Summe von \(x\) und \(y\) eines der Punkte gleich \(p(x)\) sein soll. Das macht doch keinen  Sinn. Im Übrigen sind die doch alle verschieden; es gibt aber nur eine eindeutige Lösung für das \(p(x)\).

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Was ist dann die die eindeutige Lösung also ist es dann für

p(x)

= -1+3/10=-7/10=-0,7 gleich nicht p(x)

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Wie berechne ich dann die Koeffizienten a0,a1 der Ausgleichsgeraden p(x)= a0+a1x mit Hilfe der Normalgleichungen ?

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"Was ist dann die die eindeutige Lösung " Die Lösung ist die Lösung des Gleichungssystem oben in der Antwort von wächter:

$$\left(\begin{array}{rr}5&5\\5&15\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}a_0\\a_1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{43}{10}\\\frac{73}{10}\\\end{array}\right)$$

Die Lösung für die Parameter \(a_0\) und \(a_1\) ist \(a_0=0,56\) und \(a_1=0,3\); demnach ist $$p(x)=0,3x + 0,56$$ als Graphik sieht das so aus:

~plot~ {-1|0.3};{0|0.5};{1|0.9};{2|1.1};{3|1.5};0.3x+0.56 ~plot~

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"Wie berechne ich dann die Koeffizienten a0,a1 der Ausgleichsgeraden p(x)= a0+a1x mit Hilfe der Normalgleichungen ? " Du musst das Lineare Gleichungssysten \(A^T\cdot A \cdot x= A^T \cdot y\) lösen. Die Lösung sind dann die beiden Parameter \(a_0\) und \(a_1\).

$$x = \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1\end{pmatrix}$$

\(A\) steht oben schon, aber aufpassen wächter hat die beiden Spalten von \(A\) vertauscht. Und das Gleichungssystem steht oben auch schon. Und wie man ein Lineares Gleichungssystem löst kannst Du z.B. hier nachlesen.

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Ok. Aber wie ist man auf (5 5

                                              5  15) gekommen ?

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Ich gebe es auf. Könntest du mir bitte ausführlich in einem Rechenweg alles erklären habe alles vertauscht.

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Und wo kommen die werte der parameter ao und a1 wie hat man das gerechnet ?

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Ok. Aber wie ist man auf (5 5 / 5 15) gekommen?

Die identische Frage hast Du bereits hier gestellt. Die Antwort ist wieder die gleiche - es ist

$$A^T \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 15 \end{pmatrix}$$ steht übrigens oben schon in der Antwort von wächter, nur dass er die Matrix \(A\) mit \(X^T\) benannt hat. Ich habe Dir das Matrizenprodukt \(A^T \cdot A\) noch mal im Detail skizziert:

$$ \begin{matrix} &A= & \begin{pmatrix} \colorbox{#88ffff}{1} & -1 \\ \colorbox{#88ffff}{1} & 0 \\ \colorbox{#88ffff}{1} & 1 \\ \colorbox{#88ffff}{1} & 2 \\ \colorbox{#88ffff}{1} & 3 \end{pmatrix} \\ A^T = &\begin{pmatrix} 1&1&1&1&1\\ \colorbox{#ffff88}{-1}&\colorbox{#ffff88}{0}&\colorbox{#ffff88}{1}&\colorbox{#ffff88}{2}&\colorbox{#ffff88}{3} \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ \colorbox{#ff8888}{5} & 15 \end{pmatrix} \end{matrix} $$

Schaue jetzt auf die rot markierte \(\colorbox{#ff8888}{5}\) in der Ergebnismatrix. Diese \(5\) wird berechnet indem man jede der gelb markierten Zahlen in \(A^T\) mit der dazugehörigen blau markierten Zahl in \(A\) multipliziert und am Ende alle Produkte addiert - also man rechnet:

$$\colorbox{#ffff88}{-1} \cdot \colorbox{#88ffff}{1} + \colorbox{#ffff88}{0} \cdot \colorbox{#88ffff}{1} + \colorbox{#ffff88}{1} \cdot \colorbox{#88ffff}{1} + \colorbox{#ffff88}{2} \cdot \colorbox{#88ffff}{1} + \colorbox{#ffff88}{3}\cdot \colorbox{#88ffff}{1} = \colorbox{#ff8888}{5}$$ genauso werden die anderen drei Zahlen in der Ergebnismatrix berechnet. Ich empfehle Dir wärmstens Dir mal die Matrizenmultiplikation anzuschauen. Ohne die kommst Du hier nicht weiter!

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"Und wo kommen die werte der parameter ao und a1 wie hat man das gerechnet ?" das habe ich Dir weiter oben schon versucht zu erklären, als Du fragtest "Wie berechne ich die Koeffizienten a0,a1 ..." und auf Deine Frage hin "Was ist dann die die eindeutige Lösung?" ... scheint irgendwie nicht geholfen zu haben :-(

Wo genau ist dein Problem?

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Also ich wollte erstens fragen für a0 und a1 hat man oben was eingetragen um auf die 43/10 und 73/10 zu kommen auf das ergebnis schließlich. Eine andere Frage war wie lautet die Ausgleichsgerade siehe in der aufgabe p(x)=a0+a1x. Auf die anderen Zahlen komme ich leider nicht also hab

1*-1+1*0+1*1+1*2+1*3=5 das müsste die obere fünf sein. Wie komme ich dann die dritte fünf oben rechts und die untere 15 rechts unten ?

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"Also ich wollte erstens fragen für a0 und a1 hat man oben was eingetragen um auf die 43/10 und 73/10 zu kommen auf das ergebnis schließlich." .. das ist keine Frage!

"Auf die anderen Zahlen komme ich leider nicht also hab 1*-1+1*0+1*1+1*2+1*3=5 das müsste die obere fünf sein." Die 5 unten links (die rote 5 in meinem Kommentar) und die 5 oben rechts wird so berechnet. Hier muss beides mal das selbe Ergebnis heraus kommen.

"Wie komme ich dann die dritte fünf oben rechts und die untere 15 rechts unten ?" - Das mit der Matrizenmultiplikation hast Du leider noch nicht verstanden!!

die 5 oben links errechnet sich aus:

$$1\cdot 1 + 1\cdot 1 +1\cdot 1 +1\cdot 1 +1\cdot 1 = 5$$ und die 15 unten rechts errechnet sich aus

$$ (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 15$$ Das Falksche Schema erklärt dies doch sehr gut.

Bitte bitte Klaus - schaue Dir das mal ganz in Ruhe an! Du hast keine Chance solche Aufgaben zu lösen, wenn Du das nicht verstanden hast!

Answer 2

Hallo Klaus,

Die Koeffizienten a und b der  Ausgleichssgeraden  \( \widetilde{y} = a·x + b\) erhält man aus:

\(\begin{pmatrix} 1&1&1&...&1\\ x_1&x_2&x_3&...&x_5\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} 1&x_1\\ 1&x_2\\ 1&x_3\\...&...\\1&x_5\end{pmatrix}\) • \(\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}\) 
                                              =    \(\begin{pmatrix} 1&1&1&...&1\\ x_1&x_2&x_3&...&x_5\end{pmatrix}\)  • \(\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\\...\\y_5\end{pmatrix}\)
x_i und y_i  aus deiner Tabelle einsetzen, Matrixmultiplikationen ausführen  und dann  das LGS  lösen:
A • \(\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}\)  =  B 

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bei dir:

\(\begin{pmatrix} 5&5\\ 5&15\end{pmatrix}\) •  \(\begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}\) =  \(\begin{pmatrix} 4,3 \\ 7,3 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 5b+5a \\ 5b+15a \end{pmatrix}\) =  \(\begin{pmatrix} 4,3 \\ 7,3 \end{pmatrix}\)

Zeile 2 - Zeile 1  →  10a = 3  →  a = 0,3

a in  Zeile 1  →  5b + 1,5 = 4,3  →  5b = 2,8  →  b = 0,56

Ausgleichsgerade:  \( \widetilde{y} = 0.3 · x + 0,56\)    

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang danke für die Erklärung habe keine Idee mehr

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Hallo Klaus,

habe meine Antwort noch ergänzt. Schau noch einmal rein.

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Hallo Wolfgang,

Kurze Frage um die drei zu bekommen muss ich dann 15:5 nehmen ?

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Wie bekomme ich die

(5 5

  5 15)

Sorry kann das nicht als Klammer schreiben. Habe die fünf verstanden wie ich sie bekomme aber die anderen nicht bzw. oben links und rechts und die 15 unten rechts in der Klammer.

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"... um die drei zu bekommen muss ich dann 15:5 nehmen ?" Welche 'drei' meinst Du?

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Ich habe inzwischen die Vermutung Klaus trollt nur. Er stellt immer wieder Fragen die schon lange ganz prima wie hier von Werner-Salomon erklärt worden sind.

Gute Ratschläge wie

"Bitte bitte Klaus - schaue Dir das mal ganz in Ruhe an! Du hast keine Chance solche Aufgaben zu lösen, wenn Du das nicht verstanden hast!"

Werden eh ignoriert und dann das Selbe nochmal gefragt ...

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Ich meinte die 3

10a = 3

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Auch das steht bereits dort

"Zeile 2 - Zeile 1"

10a = 3

:-(

Ich weiß, dass Lesen schwer ist. Besonders wenn es so viele Buchstaben, Wörter und dann auch noch Zahlen sind...

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Also 15-5 =10 geteilt durch 3 sind 0,3

Bei der zweiten Zeile weiss ich nicht wie man auf 4,3 gekommen ist

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Auch das steht mehrfach dort

[1, 1, 1, 1, 1; -1, 0, 1, 2, 3]·[0.3; 0.5; 0.9; 1.1; 1.5] = [4.3; 7.3]

Bei mir trennt das Komme die Elemente einer Zeile und das Semikolon die Elemente verschiedener Zeilen einer Matrix.

Wie man die Matrizenmultiplikation mit dem Falkschen Schema durchführt wurde auch mehrfach angesprochen und verlinkt.

Und weil dort "a in  Zeile 1" wurde offensichtlich das ausgerechnete a in die erste Zeile der Gleichung eingesetzt.

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Ich glaube bei Klaus ist Hopfen und Malz verloren ;)

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Achso jetzt habe ich es gerafft die Aufgabe steht ja noch oben.

Answer 3

~plot~ {-1|0.3};{0|0.5};{1|0.9};{2|1.1};{3|1.5};0.3x+0.56 ~plot~

Der Plotter funktioniert mal wieder nicht.
Es kommt noch was.

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Hier mein Lösungsweg

Ausgehend von der Geradengleichung

y = m * x + b

multiplizierst du diese mit x

xy = m * x ^2 + bx

Dann werden die Werte für alle Messpunkte
berechnet und in einer Tabelle eingetragen

Spaltenweise wird zur Summe aufsummiert wobei in der
letzten Spalte 5 mal b herauskommt.

Die aufsummierten Werte werden in die oben angegebenen
2 Gleichungen eingesetzt. Jetzt hast du 2 Gleichungen mit
2 Unbekannten. Es ergibt sich m = 0.3 un b = 0.56.

Bei Bedarf nachfragen.

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Hallo georgborn,

Ich habe die Aufgaben verstanden,aber wie ist man auf 
m = 0.3 und b = 0.56. Das einsetzennin die Gleichung und aufsummieren habe ich verstanden

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4.3 = m * 5 + 5b
7.3 = m * 15 + 5b

Dies sind jetzt ganz einfach 2 Gleichungen
mit 2 Unbekannten. ( Lineares Gleichungssystem )

In diesem Fall empfiehlt sich : abziehen

4.3 = m * 5 + 5b
7.3 = m * 15 + 5b  | abziehen
---------------------
4.3 -7.3 = m * 5 - m * 15  | 5b entfällt
- 3 = - 10 * m
m = 0.3

Einsetzen
4.3 = m * 5 + 5b
4.3 = 0.3 * 5 + 5b
5b = 2.8
b = 0.56

y ( x ) = 0.3 * x + 0.56