Gehen wir mal aus von der Normalform; du hast ja schon die doppelte Nullstelle im Ursprung.
F ( x ) = x ² ( x - x3 ) = ( 1a )
= x ³ + a2 x ² + a1 x + a0 ( 1b )
a2 = - x3 ; a1 = a0 = 0 ( 1c )
Was euch eure Lehrer systematisch verschweigen; ihr sollt offenbar glauben, jede neue Funktion biete immer wieder neue lustige Abenteuer. Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
" Alle Polynome 3. Grades singen immer wieder die selbe Melodie. Sie verlaufen nämlich PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP.
Du benötigst auch keines Wegs den Umweg über die 2. Ableitung, um an den WP heran zu kommen; Ausgangspunkt ist immer Normalform ( 1bc )
x ( w ) = - 1/3 a2 = 1/3 x3 ( 2 ) "
Aus dieser Symmetrie ergibt sich zwangsläufig eine Mittelwertbeziehung für die beiden Extremwerte; wieder FRS
x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ] ( 3a )
f ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ] ( 3b )
Nochmals FRS
" Eine Nullstelle gerader Ordnung wie die doppelte x = 0 in ( 1a ) ist immer ein lokaler Extremwert. "
Damit knacken wir sie - ohne eine einzige Ableitung. Denn jetzt wissen wir: x ( min ) = 0 ; x ( max ) = 2 war dir ja ohnehin gegeben. Dann folgt mit ( 3a ) x ( w ) = 1 ( den du ja ohnehin für die Wendetangente benötigst ) so wie über ( 2;1c )
1 = x ( w ) = - 1/3 a2 = 1/3 x3 ====> x3 = 3 ( 4 )
Was jetzt noch fehlt, ist eine Unbekannte, die ich nicht ernst nehme; der ===> Leitkoeffizient k .
f ( x ) := k F ( x ) ( 5 )
Du kannst dir ja mal überlegen, was der bewirkt bzw. wo wir den her bekommen.
