Nullstellen berechnen bei Exponentialfunktion f(x)=e^{x/2} - x^2

Question

f(x)=e^x/2—x²

Berechne die Nullstellen. Ist das nur möglich mit dem Newton Verfahren oder geht es auch genau?

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

e^{x/2} -x^2=0

dann nur z.B  mir dem  Newton Verfahren.

x₁≈1.42961

x₂≈-0.815553

x₃≈8.61317

Answer 2

Du musst das Newton-Verfahren auch Newton-Raphson-Verfahren,verwenden:$${x}_{1}={x}_{i}-\frac{f{x}_{i}}{f'{x}_{i}}$$ Jetzt musst du dir einen Punkt suche, der in der Nähe einer Nullstelle liegt. (Hier musst du, wenn du keinen Plotter verwendest etwas rumspielen)

https://www.desmos.com/calculator/qz0dsiswzm

Hier sieht du, dass es eine Nullstelle sehr nah bei 9 gibt.

Du musst nun die erste Ableitung deiner Funktion bilden:$$ f'(x)=\frac{e^\frac{x}{2}}{2}-2x $$ Jetzt musst die die Neun in beide Funktionen einsetzen d.h., es sieht so aus:$${x}_{1}=9+\frac{f(9)}{f'(9)}$$ Oder auch etwas ausführlicher:$$ {x}_{1}=9-\frac{e^\frac{9}{2}-9^2}{\frac{e^\frac{9}{2}}{2}-2 \cdot 9} \approx 8.666138091$$ Jetzt musst du dasselbe machen musst aber statt 9 die " 8.666138091" einsetzen. Das sieht dann so aus:$${x}_{2}={x}_{1}-\frac{f({x}_{1})}{f'({x}_{1})}$$ Das machst du dann bis sich kaum noch was ändert oder deine gewünschte Accuracy erreicht ist. Außerdem gute Startpunkte wären \( \text{-1 und 1} \)

Viel Glück

Answer 3

Natürlich geht das auch mit exakten Umstellen:

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

    e^{x/2} =x^2 | Wurzel, aber Vorzeichen beachten
    e^{x/4} =x
§5 Typ e^{a*x} = b*x + c mit a=1/4, b=1, c=0
x=-LambertW(n, -a/[b*e^{a*c/b}]) /a - c/b
x=-LambertW(n, +/-1/4)*4 , da durch Quadrieren beide Vorzeichen möglich

n  | -LambertW(n, +1/4)*4
-2 | 15.249177645568959001 + 42.607520550645771488.. i
-1 | 12.035992039880184798 + 16.306119155966390516.. i
0 | -0.81555341880896065779...
1 | 12.035992039880184798 - 16.306119155966390516.. i
2 | 15.249177645568959001 - 42.607520550645771488.. i

n  | -LambertW(n, -1/4)*4
-2 | 13.958929136918368403 + 29.656218120384146580.. i
-1 | 8.6131694564413985969
0 | 1.4296118247255556123
1 | 13.958929136918368403 - 29.656218120384146580.. i
2 | 16.223494107624604760 - 55.409338634269085545.. i

Alle 10 Lösungen bestehen die Probe.

Von den 10 Lösungen sind 3 reell und 7 komplex.

zu "...genau..": Wieviel 1000 {oder Mio.} Nachkommastellen brauchst Du? (bin Spezialist darin)

Achtung: obwohl die LambertW Funktion schon hundert Jahre bekannt ist, alle guten Rechner sie kennen { http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php }

und Wikipedia sie als "elementare Funktion" betitelt,

wollen Lehrer das oft nicht hören und sagen, dass es nur Näherungslösungen gibt.

Dann müssen sie aber auch sqrt(x) {Wurzel} und sin(x) dazurechnen, da sie genau so iterativ berechnet werden.