Bilden die Vektoren eine Basis des ℝ³

Question

Aufgabe:

Bilden die folgenden drei Vektoren

\(x_1=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right), x_2=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)\text{ und }x_3=\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)\)

eine Basis des \(\mathbb{R}^3\)?

Answer 1

Du musst prüfen ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind.

dh. Prüfgleichung für lineare Unabhängigkeit nachrechnen

Comments

kann ich die wie folgt lösen

1 1 2 |0                            1 1 2 0

1 2 1  |0                           0 1 -1 0

1 3 -1 |0 .... (gauß)          0 0 -1 0          -> linear unabhängig also bilden sie eine Basis

Wäre das so richtig

Danke 

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JA so macht man das

Answer 2

Um zu prüfen, ob die drei Vektoren

\(x_1=\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right), x_2=\left(\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right)\text{ und }x_3=\left(\begin{matrix}2\\1\\-1\end{matrix}\right)\)

eine Basis bilden, kannst Du diese als Spalten einer Matrix schreiben und davon die Determinante berechnen. Ist diese \(0\), so sind die gegebenen Vektoren linear abhängig und bilden keine Basis:

\(A=\left(\begin{matrix}1&1&2\\1&2&1\\1&3&-1\end{matrix}\right)\) ist die Matrix, von der die Determinante berechnen wird.

Die Determinante \(\det(A)\) von \(A\) ist

\(\det(A)=-1\)

und deshalb bilden die drei Vektoren eine Basis.

Answer 3

[1, 1, 1] und [1, 2, 3] sind offensichtlich linear unabhängig.

Nun prüft man ob

r·[1, 1, 1] + s·[1, 2, 3] = [2, 1, -1]

Da es hier keine Lösung gibt sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis des R^3.

Answer 4

Hallo Abb,

im ℝ³ sind drei Vektoren \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\)  genau dann linear abhängig,

 wenn ihr Spatprodukt  (\(\vec{u}\) x \(\vec{v})\cdot\vec{w}\)  den Wert Null hat.

Gruß Wolfgang