Kurvendiskussion: Funktionenschar fa(x) = ax^3– (a^2– 2)x^2 mit a ≠ 0.

Question

1. Gegeben ist die Funktion fa(x) = ax^3– (a^2– 2)x^2 mit a ≠ 0.
1.1. Zeigen Sie, dass (0/0) ein gemeinsamer Berührpunkt aller Graphen der Schar ist.
1.2. Auf welchen Graphen der Funktionenschar liegt der Punkt P(2/1)?
1.3. Berührt der Graph von f-2 die Parabel p(x) = x^2– 3x + 4?
1.4. Welcher Graph der Schar ist an der Stelle x = 3 parallel zur Geraden g(x) = -3x + 1?

Answer 1

1.1)

f _a ( x ) = a x ³ - ( a ² - 2 ) x ²

 

f _a ( 0 ) = 0

<=> a * 0 ³ - ( a ² - 2 ) * 0 ² = 0

<=> 0 - 0 = 0

<=> 0 = 0

Das ist immer wahre Aussage, insbesondere ist sie unabhängig vom Parameter a wahr, also für alle a und somit für alle Funktionen der Schar. Damit ist gezeigt, dass ( 0 | 0 ) gemeinsamer Punkt aller Graphen der Schar ist.

Noch zu zeigen: ( 0 | 0 ) ist Berührpunkt (nicht Schnittpunkt!):

( 0 | 0 ) ist Berührpunkt, wenn alle Funktionen der Schar dort dieselbe Steigung m haben, wenn also für alle a gilt:

f '_a ( 0 ) = m 

Nun,

f '_a ( x ) = 3 a x ² - 2 * ( a ² - 2 ) x 

also:

f '_a ( 0 ) = 3 a 0 ² - 2 * ( a ² - 2 ) 0  = 0

für alle a. Also haben alle Funktionen der Schar im Punkt ( 0 | 0 ) die Steigung m = 0, also dieselbe Steigung. Der Punkt ( 0 | 0 ) ist damit gemeinsamer Berührpunkt aller Funktionen der Schar.

 

1.2)

Setze f _a ( 2 ) = 1 und löse nach a auf:

f _a ( 2 ) = 1

<=> a * 2 ³ - ( a ² - 2 ) * 2 ² = 1

<=> 8 a - 4 a ² + 8 = 1

<=> a ² - 2 a - 2 = - 0,25

<=> a ² - 2 a  + 1 = 3 - 0,25 = 2,75

<=> ( a - 1 ) ² = 2,75

<=> a - 1 = +/- √ 2,75

<=> a = 1 +/- √ 2,75

Also: Der Punkt P ( 2 | 1 ) liegt auf den Graphen der Scharfunktionen

f  _{1 - √ 2,75} und f _{1 + √ 2,75}

 

1.3)

Die Graphen berühren einander genau dann, wenn es eine Stelle x gibt, an der sie dieselbe Steigung m haben und an der sie denselben Funktionswert haben.

 

f '_{- 2} ( x ) = p ' ( x )

<=> - 6 x ² - 4 x  =  2 x - 3 

<=> 6 x ² + 6 x - 3 = 0 

<=> x ² + x = 0,5

<=> x ² + x + 0,25 = 0,75

<=> ( x + 0,5 ) ² =  0,75

<=> x = +/- √ ( 0,75 ) - 0,5

Also: An den Stellen x1 = - √ ( 0,75 ) - 0,5 und x2 = + √ ( 0,75 ) - 0,5 haben die Graphen beider Funktionen dieselbe Steigung. Wenn die Funktionen an einer oder an beiden dieser Stellen auch denselben Funktionswert haben, liegt dort jeweils ein Berührpunkt ihrer Graphen vor.

Durch Einsetzen der gefundenen Stellen x1 bzw. x2 in die Funktionsgleichungen findet man  jedoch:

f _{- 2} ( x1 ) <> p ( x1 ) bzw. f _{- 2} ( x2 ) <> p ( x2 )

sodass also keine Berührpunkte der beiden Graphen existieren.

1.4)

Die Gerade g ( x ) hat überall die Steigung - 3, also insbesondere auch an der Stelle 3. Man setze also die Ableitung von f _a ( 3 ) = - 3 und löse nach x auf:

3 a 3 ² - 2 * ( a ² - 2 ) 3 = - 3

<=> 27 a - 6 a ² + 12 = - 3

<=> 6 a ² - 27 a = 15

<=> a ² - 4,5 a = 2,5

<=> a ² - 4,5 a + 2,25 ²  = 7,5625

<=> a - 2,2,5 = +/- √ ( 7,5625) = +/- 2,75

<=> a = 2,25 +/- 2,75

<=> a = - 0,5 ODER a = 5

Also: Die Graphen der Funktionen f _{-0,5 ( x )} und f ₅ ( x ) verlaufen an der Stelle x = 3 parallel zum Graphen der Funktion g ( x ).